Fussy's Diary

先週から喉が痛く、今度は咳が止まらなくなりました。この時期になるといつもこうなるのですが、風邪というわけでもないんですよね。

以前、フェルマーの小定理の証明法を紹介したので、今度はこれを一般化したオイラーの定理を証明してみます。

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オイラーの定理

m を正の整数、a を m と互いに素な整数とするとき、

a^φ(m) ≡ 1 ( mod m )

が成り立つ。但し、φ(m) はオイラーの φ 関数で、1 から m の間で m と互いに素な数の個数
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(証明)

フェルマーの小定理の証明では、a が素数 p と互いに素ならば

a, 2a, 3a, ... ( p - 1 )a

を p で割った p - 1 個の剰余が、適当に順番を入れ替えることで重複なく

1, 2, 3, ... p - 1

と等しくなることを利用しました。これは、p が素数でなくても成り立つことは、証明の内容から容易に理解できます。さらに、a と b が互いに素なとき、a を b で割った剰余を r とすると、r と b も互いに素となります。もし、r と b に共通の因数があるとしたとき、その因数を k として r = kr', b = kb', a = qb + r とすれば、

a = qkb' + kr' より a = k( qb' + r' )

となるので、a が k を因数として持つことになり最初の仮定に反します。そこで、任意の(合成数も含めた)正数 m に対し、互いに素な数 a を選び、1 から m の中で m と互いに素な数だけを抽出し、先頭から順に連番 i を付けて b_i で表します。b_i は必ず 1 であり、その要素数はオイラーのΦ関数 φ(m) で表すことができます。このとき、

b₁a, b₂a, b₃a, ... b_φ(m)a

を m で割った φ(m) 個の剰余は重複がなく、しかも全て m と互いに素なので、適当に順番を入れ替えることで

b₁, b₂, b₃, ... b_φ(m)

と等しくなります。よって、

Π_i{1→φ(m)}( b_ia ) ≡ Π_i{1→φ(m)}( b_i ) ( mod m )

が成り立ち ( Π_i{1→φ(m)}(...) は ... の全要素の 1 から φ(m) までの積を表します )、左辺は a^φ(m)・Π_i{1→φ(m)}( b_i ) であり、Π_i{1→φ(m)}( b_i ) は m と互いに素なので

a^φ(m) ≡ 1 ( mod m )

となって、オイラーの定理が証明されました (証明終)

素数 p に対して φ(p) = p - 1 なので、オイラーの定理を素数に限定すればフェルマーの小定理と等しくなります。  

昨日から、御嶽山の噴火の様子がテレビでずっと放映されています。今日のニュースを見ていると、予想以上に被害が大きかったようですね。休日で登山者が多かったのも影響しているのでしょうか。自然の恐ろしさを改めて認識しました。

本日、アルゴリズムのコーナーを更新しました。前回、半分だけ更新した「ポアソン回帰」をひと通り全て書き終えました。今回も非常に疲れました。
ポアソンという名前、よく似たのにピアソンやイアソンがあります。ポアソンは「ポアソン分布」や「ポアソン方程式」で有名な数学者で、ピアソンはフィッシャーと論争したことで有名な統計学者、イアソンはギリシャ神話の英雄ですね。さすがにイアソンと間違えることはないですが、たまにポアソンとピアソンを混同することがあります。特にピアソンは親子ともども統計学者で、どちらもフィッシャーと論争しているのでさらにややこしいです。

ポアソンの名がついた画像加工技術 「Poisson Blending」 というものを最近発見しました。切り取った画像を他の画像に重ね合わせるとき、継ぎ目部分が目立たないようにする手法です。ポアソン方程式を利用しているので 「Poisson Blending」 という名が付いているようで、ぜひとも理解したい手法です。少し調べてみたところ、いろいろな用途に使えそうな技術です。  

昨夜からの大雨で、名古屋市地下鉄東山線の名古屋駅で浸水があって、朝の NHK ニュースから大きく報道されていました。

利用しているのが桜通線だったので、いつもと同じルートで出勤できたのですが、さすがにかなり混雑していました。ハブにあたる名古屋駅が利用できなくなったわけなので、影響もかなり大きかったようですね。
しかし、桜通線は何ともなかったので不思議に思っていました。地元の方はご存知だと思いますが、桜通線の方が東山線よりも低い位置に駅があるんですよね。で、工事現場の下水管から雨水が漏れだしたのが原因というのを新聞で見てなるほどと思いました。駅どうしはある程度離れているので、桜通線は被害を受けなかったということですね。しかし、桜通線の方まで浸水が及んでいたら、もっと影響が広がっていたでしょうね。もしそうなったら、自分もバスを使わないと通勤できなかったと思います。

もしもの時のために、普段からいくつかのルートを使って通勤しておいたほうがいいのかもしれません。  

今日は「秋分の日」です。お彼岸ということで、おはぎやぼたもちを食べられた方も多いのではないでしょうか。

現在、対数線形モデルの勉強中です。それほど難しくないだろうと甘く考えていたら予想以上に奥が深く、さらに正規方程式から解を導き出してみようとチャレンジしたらかなりハマってしまいました。まあ、いつものことなんですけどね。頭を一度リセットするために、「数学問題bot」の中から一問選んでみました。例によって合っているかどうかは不明です。

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■ 0 でない複素数からなる集合 G は「G の任意の要素 z, w の積 zw は再び G の要素である」を満たしているとする。

1) ちょうど n 個の複素数からなる G の例を挙げよ。
2) ちょうど n 個の複素数からなる G は 1) の例以外にないことを示せ。

(01京都府立医科大)

1) cos( 2kπ / n ) + i sin( 2kπ / n ) ( 0 ≤ k ≤ n - 1 )

0 以上 n - 1 以下の整数 p, q を上式に代入して積を計算すると

[ cos( 2pπ / n ) + i sin( 2pπ / n ) ][ cos( 2qπ / n ) + i sin( 2qπ / n ) ]
= cos( 2pπ / n )cos( 2qπ / n ) - sin( 2pπ / n )sin( 2qπ / n ) + i [ sin( 2pπ / n )cos( 2qπ / n ) + cos( 2pπ / n )sin( 2qπ / n ) ]
= cos( 2( p + q )π / n ) + i sin( 2( p + q )π / n )

となり、p + q を n で割った剰余を r としたとき 0 ≤ r ≤ n - 1 なので

cos( 2( p + q )π / n ) + i sin( 2( p + q )π / n ) = cos( 2rπ / n ) + i sin( 2rπ / n )

で、これは G の要素です。

2) G の要素を z = a + bi, w = c + di としたとき、zw = ( ac - bd ) + ( da + bc )i が再び G の要素ならば

|z|² = a² + b²
|w|² = c² + d²
|zw|² = ( ac - bd )² + ( da + bc )²

は全て等しくなります。ところが、

( ac - bd )² + ( da + bc )²
= (ac)² + (bd)² + (da)² + (bc)²

( a² + b² )( c² + d² )
= (ac)² + (da)² + (bc)² + (bd)²

より |z|²|w|² = |zw|² なので、|z|², |w|², |zw|² が全て等しくなるためには

|z|² = |w|² = 1

である必要があります。すなわち、n 個すべての要素について実部と虚部の二乗和は 1 であり、複素平面内において原点を中心とした半径 1 の円周上に位置することになるので、G の要素は必ず

cosθ + i sinθ

の形で表されます。

z = cosα + i sinα
w = cosβ + i sinβ

に対して

zw = cos( α + β ) + i sin( α + β )

なので、任意の要素の偏角の和は 0 から 2π の範囲で他の要素の偏角と等しくならなければなりません。これを満たすためには、偏角が 2kπ / n ( 0 ≤ k ≤ n - 1 )、すなわち 0 を起点として 2π / n 刻みで要素を取ればよいので、1) の例のみが条件を満たすことになります。  

明後日は「秋分の日」ですが、明日も休みという方も多いのではないでしょうか。そうすると 4 連休ですね。

今回は「フェルマーの小定理」の証明方法を紹介したいと思います。もちろん自力で解いたわけではなく「はじめての数論 (ISBN 978-4-89471-421-2)」の内容そのままです。

前提知識としてまずは「合同式」を説明しておきます。

a - b が m で割り切れるとき、a は m を法として b に合同であるといい、

a ≡ b ( mod m )

で表します。これを「合同式」といいます。合同式では以下の式が成り立つので、フェルマーの小定理の証明でこれらを利用します。

a ≡ b ( mod m )
c ≡ d ( mod m )

ならば

a・c ≡ b・d ( mod m )

an ≡ bn ( mod m ) で n と m が互いに素なら a ≡ b ( mod m )

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フェルマーの小定理

p を素数、a を p と互いに素な整数とするとき、

a^p-1 ≡ 1 ( mod p )

が成り立つ。
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(証明)

p - 1 個の整数 a, 2a, 3a, ... ( p - 1 )a を p で割ったときの剰余を考えます。その中の任意の二つの整数 ja, ka ( 但し 0 < k ≤ j < p ) が

ja ≡ ka ( mod p )

だとすると、( j - k )a は p で割り切れることになります。しかし a は p と互いに素なので、j - k が p で割り切れることになり、0 ≤ j - k < p なので j - k = 0 すなわち j = k であることになります。よって、a, 2a, 3a, ... ( p - 1 )a を p で割った時の剰余は全て異なることになります。ところが、これらの整数は p - 1 個あり、p で割った剰余も 1 から p - 1 までの p - 1 個なので、全てが相異なるためには 1 から p - 1 までの数を必ず含む必要があります。つまり、a, 2a, 3a, ... ( p - 1 )a を p で割った剰余は適当に順番を入れ替えることで 1 から p - 1 までの数となります。よって、

a・2a・3a・...・( p - 1 )a ≡ 1・2・3・...・( p - 1 ) ( mod p )

が成り立ちます。左辺は a^p-1( p - 1 )! であり、右辺は ( p - 1 )! です。( p - 1 )! は p と互いに素なので、両辺を ( p - 1 )! で割れば

a^p-1 ≡ 1 ( mod p )

となって、フェルマーの小定理が証明されました。
  

部屋の照明を LED に切り替えてからもうだいぶ経つのですが、蛍光灯を使っていた頃と変わらない使い方をしていました。

長寿命で省電力という理由だけで選んでいたので、他に機能を求めていたわけではないのですが、最近になって、明るさを調節しておいてそれを記憶する機能を利用して、明るさを使い分けるようにしました。夜、寝る前に一番暗い照明を利用するとリラックスできるというか、非常に落ち着きます。一時期、間接照明がほしいと思っていた時期がありましたが、それでなくても十分、部屋の中が落ち着いた雰囲気になります。

問題は、これで目を悪くしないかということ。明るさを落としたら、もう何もしないようにした方がいいわけではありますが。  

今まで、いろんな書物を買ってきたわけですが、まだ読んでいない本がだんだんと増えてきた気がします。

特に理数系の参考書は「おもしろそう」「タメになりそう」と思って買ったらあまりにも難解で挫折したというのもあって、内容を理解しないまま放置されたものが何冊かあります。半分程度までしか読み進めていないものも結構あるので、ちゃんと理解したのは全体の三割にも満たないのではないでしょうか。少々もったいない気がします。
しかし、また「おもしろそう」「タメになりそう」と思ってしまう参考書は次々と現れるので、最近はできるだけ見るのを避けるようにしています。少しずつでも進められればいいんですけどね。

一応、入門書と書いてあるのを選んでいるんですけど、どこが入門なんだと感じる参考書も結構あります。それでも何とか少しずつ理解できるものもありますが、最初の数ページで挫折するようなのは自分の頭ではおそらく無理じゃないかと。  

明日は「敬老の日」ですね。

脳は二十代を境に衰えていくと言いますが、昔と比べてモノを覚えるのが悪くなったかというと、あまり差がないように感じます。というか、元から何かを覚えたり理解することは苦手というかあまり努力しなかったので、三十代ごろの方がいろんなことが理解できるようになっていた気がします。個人的には、普段から鍛えておくようにすれば簡単には老化しないと思っています。それでも、名前を思い出すのがだんだんと苦手になってきました。
少し前の「サイエンスZERO」という番組で、ぼんやりしていても脳は活発に活動しているという内容が放映されていました。意識して考える活動よりも、無意識の活動のほうが圧倒的に消費エネルギーが高いのだとか。散歩中にいいアイデアが浮かぶというような体験談をよく聞きますが、ちゃんとした理由があるという事ですね。脳の持つ能力というのは、まだまだ未知の部分が多いようです。  

愛犬のクッキーが永眠してから今日(もう昨日になりましたね)でちょうど一年となりました。時の経つのは早いものです。

自分は仕事で参加できませんでしたが、両親で、クッキーの骨を納めている 慈妙院 という動物霊園に出かけていました。自分も二回ほど行ったことがあって、たくさんの方が納骨されていました。犬や猫はもちろん、ハムスターも納骨されている方がいたような記憶が。


写真は 2007 年のもの。この頃はまだまだ元気でした。

クッキーの子供のチャコも老犬となりましたがまだまだ食欲旺盛で元気です。でも、最近はずっと寝ていることが多くなり、昔のように活発には動かなくなりました。元々おっとりとした性格で、親のクッキーとは正反対だったわけですが、さらに動作が緩慢になってきた気が。まあ、年をとれば仕方がないことかもしれません。  

今日は十五夜。そして明日はスーパームーンが見られるそうです。

Wikipedia を見ると、秋の月見はアジア圏だけの風習のようです。中国が起源なのでしょうか。月餅はこの頃によく食べられるそうですね。台湾や香港、ベトナムは派手な灯籠などを掛けたりして非常ににぎやかな雰囲気ですが、日本の場合はすすきに団子と質素な感じ。わびの世界というべきでしょうか。
「侘 (わび)」といえば日本独特の美意識ですが、もう一つ「寂 (さび)」というのもあって、二つはセットで用いられることが多いです。しかし、両者は意味が異なっていて、「侘」は質素な様子、「寂」は古びた様子を表すようです。よく、廃墟の写真や、酷道と呼ばれる、国道なのに整備がされていない道なんかを紹介するサイトを見かけますが、あれこそ「わび・さび」の世界と言うべきでしょうか。廃墟の写真、結構魅力的なものも多いんですよね。昔、そこに人がいて賑やかだった時もあったのかと思うと、寂しさがいっそう強くなります。  

テニスの全米オープン。錦織選手が第 1 シードのジョコビッチ選手を破って決勝進出。すごいですね。

昨日は、大学のサークル 40 周年記念の集いがあり、昼からずっと出かけていました。大学時代にフォルクローレ (南米の民族音楽) にハマって、社会人になってからもしばらくの間はあるグループで活動していました。式の中でいくつかのグループによる演奏がありましたが自分はもっぱら聴き役となっていました。しかし式が終わった後、知り合いとカラオケボックスに入ってその中で何曲か演奏できて、久々に楽しむことができました。結局、明け方の始発までそのまま徹夜。疲れのせいで、今日はほとんど何もできない状態となりました。
それにしても、しばらく会っていなかった方々を見ると、だいぶ変わったなと思う反面、面影は残っているので割とすぐに気付くことができるものですねえ。たいていは少し丸くなった人が多かったような。それは自分もあまり変わらないようですが。

徹夜明けの始発待ちに撮影した地下鉄の駅構内です。始発までまだ 20 分あって、到着した時は人が一人もいませんでした。
  

石川智晶さんの新しいアルバム「私のココロはそう言ってない」が今日届きました。発売は 10/8 ですが、スペシャルボックスとして先行販売されたものです。

まだ箱を開けておらず、休日中の楽しみにとっておこうかと考えてます。ちなみにネットで注文した場合はいつもそうです。というのも、平日の仕事帰りでは箱を開ける気力すら残っていないもので。もちろん、アルバムの中の曲は全く未知の状態です。
来年もライブがあるようで、名古屋で行われるのであればまた見に行きたいと考えています。今度は早めに注文して前の方で見ることができればいいのですが。今年のライブを見てふと思ったのが、ライブの中で他の方の作品は歌わないということ。自身の曲がもつ独自の世界から逸脱するというか、コンセプトから外れるというか、はたまた著作権の問題なのか、理由はあると思うのですが、個人的には聴いてみたいですね。前に、YouTube で「残酷な天使のテーゼ」を聴いたことがあるものの、それ以外は今のところないです。岩崎宏美さんとか、八神純子さんとか、小坂明子さんとか... というと少々古いですが、どんな感じになるんでしょうかね。  

今日は九月一日。「二百十日」であり「防災の日」でもあり、学校が始まる日でもあります。
ちなみに、竹久夢二の命日でもあるそうです。1934年没。この人の美人画、結構好きです。岡山に「夢二郷土美術館」というところがあるそうで、一回見に行ってみたいです。

さて、「防災の日」と聞くと防災グッズをマジメに検討しなければといつも思うんですけど、なかなか行動に移せないです。最近の異常気象を考えると、いつ災害に遭遇してもおかしくない状況ですよね。自分や家族の身を守るためにも真剣に考えたほうがよさそうです。今のところ、すでにある防災用品は棚と天井の間に取り付ける突っ張り棒くらい。TV ショッピングなんかでは耐火・防水保管庫なんかも紹介されていたりして、防災用品といっしょに購入したほうがいいんだろうかと悩んだりもしています。使わないで済むなら一番いいですが、いざという時のために今年こそは用意しようかと思います。いや、思うだけではなく行動します。