Fussy's Diary

大相撲秋場所は豪栄道が見事に全勝優勝を果たしました。すごいですね。

日本人の全勝優勝は貴乃花以来の 20 年ぶりだそうです。長い間、外国人力士が活躍してきたので、そろそろ日本人の横綱誕生も期待したいところ。稀勢の里は今場所はいい成績が残せず、綱取りがリセットとなったのは残念です。

最近、髭剃り機の調子が悪くなってきました。今使っているのはいつ頃購入したものか覚えていないくらい古いやつなので、そろそろ買い替えを検討しなければと考えています。買い替えといえば、PC も今年で 5 年になりますが、こちらは問題なく動作しています ( たまにファンが暴走することがありますが、掃除すれば元に戻ります )。ディスプレイを大きなサイズにした分、グラボの性能が低いためか頻繁にファンが回るようになりました。グラボをいいヤツにして買い換えるとどのくらいの値段になるか、思い切ってスペックのほぼ最高のものでいくつか見積もってみたらだいたい 30 ～ 40 万円程度。まだ買い替えはいいかと思ってます。
それよりもディスクを RAID の外付けにしようかと考えています。今はシングルでバックアップは半年に一回。作成したソースやドキュメントとともに、仮想マシンのイメージも入っているので故障したらかなりのダメージになります。そう考えたら恐ろしくなってきました。  

八月の中旬ごろに、ベランダでカミキリムシを見つけて写真に撮っていました。



昔はもっと頻繁に見る機会があったように思うのですが、自然が少なくなったのか、自分が自然から遠ざかってしまったのか。
最後にクワガタを見たのは何年前だったろうか。

「数学問題bot(個人用)」から東工大の問題にチャレンジ。合っている保証はありません ( かなり強引な解き方だと思います )。

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f(x) は周期は 2π の連続関数で、c は正の定数とする。すべての x について ∫{0→2π} f(t-x)sint dt = cf(x) が成り立つとき、f(x) および c の値を求めよ。ただし f(0) = 1 とする。( 東工大 1977 年誘導略 )

部分積分法により

∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = -[ f(t-x)cos t ]{0→2π} + ∫{0→2π} f'(t-x)cos t dt

ここで、f(x) が周期 2π の連続関数なので f(2π-x)cos 2π = f(-x)cos 0 より [ f(t-x)cos t ]{0→2π} = 0 であり、

∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = ∫{0→2π} f'(t-x)cos t dt

もう一度部分積分法を使って

∫{0→2π} f'(t-x)cos t dt
= [ f'(t-x)sin t ]{0→2π} - ∫{0→2π} f''(t-x)sin t dt
= -∫{0→2π} f''(t-x)sin t dt

よって、任意の x について ∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = -∫{0→2π} f''(t-x)sin t dt となり、これが成り立つためには

f(x) = -f''(x)

でなければなりません。周期 2π の連続関数でこの条件を満たすものとして

f(x) = a sin( x - u ) + b cos( x - v )

があります。但し、a,b,u,v は任意の定数とします。このとき、f(0) = 1 より

-a sin u + b cos v = 1

が成り立ちます。

∫{0→2π} f(t-x)sin t dt
= ∫{0→2π} { a sin[ t - ( x + u ) ] + b cos[ t - ( x + v ) ] }sin t dt
= a∫{0→2π} [ sin t cos( x + u ) - cos t sin( x + u ) ]sin t dt
+ b∫{0→2π} [ cos t cos( x + v ) + sin t sin( x + v ) ]sin t dt
= [ a cos( x + u ) + b sin( x + v ) ]∫{0→2π} sin²t dt
- [ a sin( x + u ) - b cos( x + v ) ]∫{0→2π} sin t cos t dt

sin 2t = 2 sin t cos t より

∫{0→2π} sin t cos t dt
= (1/2)∫{0→2π} sin 2t dt
= (1/4)[ -cos 2t ]{0→2π} = 0

なので二項目は消え、

cos 2t = cos²t - sin²t = 1 - 2sin²t より

∫{0→2π} sin²t dt
= (1/2)∫{0→2π} 1 - cos 2t dt
= (1/2)[ t - (1/2)sin 2t ]{0→2π} = π

よって、

∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = π[ a cos( x + u ) + b sin( x + v ) ]

となります。また、

c f(x) = c[ a sin( x - u ) + b cos( x - v ) ]

より、

π[ a cos( x + u ) + b sin( x + v ) ] = c[ a sin( x - u ) + b cos( x - v ) ]

を満たす定数を求めれば、c と f(x) を得ることができます。

(左辺)
= π[ a( cos x cos u - sin x sin u ) + b( sin x cos v + cos x sin v ) ]
= π[ ( -a sin u + b cos v )sin x + ( a cos u + b sin v )cos x ]

ここで、-a sin u + b cos v = 1 より

= π[ sin x + ( a cos u + b sin v )cos x ]

(右辺)
= c[ a( sin x cos u - cos x sin u ) + b( cos x cos v + sin x sin v ) ]
= c[ ( a cos u + b sin v )sin x + ( -a sin u + b cos v )cos x ]
= c[ ( a cos u + b sin v )sin x + cos x ]

恒等的に (左辺) = (右辺) が成り立つためには

c( a cos u + b sin v ) = π
c = π( a cos u + b sin v )

よって

c² = π²

より c > 0 なので c = π となり、

a cos u + b sin v = 1

となります。従って、

f(x) = sin x + cos x

c = π

が求める解となります。  

昨日は、私用のため JR 清洲駅まで電車で行きました。



予定より早く着いたので周囲を探索していましたが特に何もなく、あまりにも暑くてすぐに戻ってきました。清州城まで行く時間がなかったのは残念。

清洲駅の写真を後で見てみたら、監視カメラの上につばめ (?) が巣を作っていました。



何もないところでしたがのどかでいい町でした。

清洲城といえば織田信長をはじめとする織田氏の城として有名ですね。近くにある城なのに実は行った記憶がありません。今回はそのいい機会だったのに、もう少し早く出かけていればと後になって後悔しています。
ちなみに「清州城 信長 鬼ころし」という日本酒があるのですが、全国的に知られているのでしょうか。ローカルでは割りと有名なお酒です。  

今日、会社の敷地内にコーンで立ち入りできなくなっている区画を見つけ、貼り紙を見ると「スズメバチの巣があります」の文字が。
慌てて通り過ぎたわけですが、昨日までは普通に横を歩いていた場所でして。さすがにゾッとしました。九月九日は「救急の日」ですが、ハチに刺されて救急搬送されるのはイヤです。

それにしても台風が過ぎてから夜はかなり涼しくなりました。もう、エアコンも必要ないくらいです。まだ昼間は暑いですけどね。今日はこの暑い中を避難訓練のため外で一時間ほど待たされました。避難訓練はたいてい外に避難をするわけで、日程によって暑かったり寒かったりします。ちょうどいい気候のときにあった記憶がないんですよね。まあ、災害はいつ起こるかわからないわけですけど。

あとは地震がいつ起こってもいいように準備、、、しておきたいですね。  

九月になりましたが暑さは相変わらずですね。

そして台風の動きが気になるところです。来週はずっと雨予報というのも少々憂うつです。

さて、いつもは休日でもわりと早く目が覚めてしまい、今日も 6 時半頃に起きたのですが、朝食を食べた後にやたらと眠くなって結局 10 時半まで二度寝しました。眠気覚ましに一時間ほど散歩したものの、昼食後にまた疲れが出てそのまま昼寝。今日はやたらと眠っていた時間が多かったです。せっかくの休日なのにもったいない。

昨日、「アルゴリズムのコーナー」にて「固有値分解」の章をまとめてリニューアルしました。そろそろ、新しいテーマにもチャレンジしたいですが、もうしばらくは時間がかかりそうです。ネタはいくらでもあるんですけど。。。