Fussy's Diary

雨が降ってきました。明日の朝も雨なんでしょうかね。

たまに PC のファンが暴走します。ホコリを少しはらってあげれば直るのですが、この間はすぐに再発したので少々あせりました。綿棒を使って隙間のホコリなどを取り除いてあげると元に戻ったのでホッとしましたが、そろそろ買い替えも検討しないといけないのかもしれません。しかし、スペックとしては今でも問題ないので、ファンだけ交換しようかとも考えています。最近、出費が多かったので。今度再発したらどうするか決めようかと思います。

デスクトップ PC の内部には結構ホコリがたまります。年に一回は掃除しているのですが、本当はもう少し頻繁にホコリを取り除いたほうがいいのかもしれません。でも、ケーブルや部品などを傷めないようにしなければならないのでかなり気を使うんですよね。最近は空冷式ではなく水冷式のものも多くなっていますが、そちらのほうがホコリがたまりにくいんでしょうかね。もし買い換えるとしたら、水冷式の方を検討しようかと思います。  

大寒に入って、あいかわらず寒い毎日です。

大相撲初場所は稀勢の里が見事に優勝しました。横綱になれば、日本人としては 19 年ぶりの横綱誕生になるのだそうです。最後に横綱になったのが若乃花というから本当に久々ですね。
日本では相撲が盛り上がりを見せていましたが、世界中はトランプ大統領の就任に対して大規模なデモが行われていたようです。何か異常な状況ですが、本当に大丈夫なんでしょうかね、このままで。

「数学問題bot」から、京大の問題です。例によって合っている保証はありません。

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極方程式 r = 1 + cos θ ( 0 ≤ θ ≤ π ) で表される曲線の長さを求めよ ( 09 京都・理甲 )

x = r cos θ
= ( 1 + cos θ )cos θ
= cos θ + ( 1 / 2 )( 2cos² θ - 1 ) + 1 / 2
= ( 1 / 2 )cos 2θ + cos θ + 1 / 2

y = r sin θ
= ( 1 + cos θ )sin θ
= sin θ + ( 1 / 2 )( 2sin θcos θ )
= ( 1 / 2 )sin 2θ + sin θ

より

dx / dθ = -sin 2θ - sin θ
dy / dθ = cos 2θ + cos θ

となります。従って、曲線の長さは

∫{0→π} [ ( dx / dθ )² + ( dy / dθ )² ]^1/2 dθ
= ∫{0→π} [ ( -sin 2θ - sin θ )² + ( cos 2θ + cos θ )² ]^1/2 dθ
= ∫{0→π} ( sin² 2θ + 2sin 2θsin θ + sin² θ + cos² 2θ + 2cos 2θcos θ + cos² θ )^1/2 dθ

を解くことで求められます。

cos 2θcos θ + sin 2θsin θ
= cos ( 2θ - θ ) = cos θ より

(与式) = ∫{0→π} ( 2 + 2cos² θ )^1/2 dθ

t = cos θ とすると、

dt / dθ = -sin θ ( 0 ≤ θ ≤ π より sin θ ≥ 0 )
= -( 1 - cos² θ )^1/2
= -( 1 - t² )^1/2

で、θ = 0 のとき t = 1、θ = π のとき t = -1 なので、

(与式) = √2∫{1→-1} ( 1 + t )^1/2・[ - 1 / ( 1 - t² )^1/2 ] dt
= √2∫{-1→1} ( 1 - t )^-1/2 dt
= √2[ -2( 1 - t )^1/2 ]{-1→1}
= √2( 0 + 2√2 ) = 4

となります。
  

昨日から名古屋も大雪でした。

休日中は近くに出かけただけでほとんど家にいました。雪道には慣れていないので、ほんの少し出かけるだけでも大変です。雪は明日まで続くということで、会社にたどり着けるか心配ですね。運悪く、センター試験とも重なって受験生にとっては大変な二日間だったと思います。いつも思うんですけど、なぜこういう時期に試験をするんでしょうかね。

「数学問題bot」から、センター試験の問題を選んでみました。一応、検算はしてますが、合っている保証はありません。

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二次関数 y = -x² + ( 2a + 4 )x + b の頂点座標が直線 y = -4x - 1 上にあるとする。この二次関数の 0 ≤ x ≤ 4 における最小値が -22 のとき、a の値とそのときの最大値を求めよ ( 12 センター数学 1A )

y = -x² + ( 2a + 4 )x + b = -[ x - ( a + 2 ) ]² + ( a + 2 )² + b

より二次関数の頂点は ( a + 2, ( a + 2 )² + b ) になります。この座標が y = -4x - 1 上にあるので

( a + 2 )² + b = -4( a + 2 ) - 1 より

b = -a² - 8a - 13

となります。x = 0 のとき y = b = -a² - 8a - 13、x = 4 のとき y = 8a + b = -a² - 13 なので、a > 0 ならば x = 0 のとき、a < 0 ならば x = 4 のとき最小値となります。

前者の場合、-a² - 8a - 13 = -22 より a² + 8a - 9 = 0 なので a = -9, 1 で、a > 0 より a = 1 となります。このとき、b = -22 で、

y = -( x - 3 )² + 3² - 22 = -( x - 3 )² - 13

なので、最大値は -13 となります。

後者の場合は -a² - 13 = -22 より a² = 9 なので a = ±3 で、a < 0 より a = -3 となります。このとき、b = 2 で、

y = -( x + 1 )² + ( -1 )² + 2 = -( x + 1 )² + 3

なので、最大値は 3 となります。  

今日はわりと暖かい一日でした。散歩するにはいい日でしたね。夕方から少し雨が降りましたが。

今回は、とある参考書にあった問題です。大学入試にも出そうな内容ですね。

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1) 2^r - 1 が素数とすると、r は素数であることを示せ。
2) 2^r + 1 が素数であれば、r は 2 のベキであることを示せ。

1) 対偶となる「r が合成数なら 2^r - 1 は合成数」を示します。r = mn ( m, n は 2 以上の整数 ) とすると、

2^r - 1 = 2^mn - 1 = ( 2ⁿ )^m - 1

となります。2ⁿ = K とすると、

2^r - 1 = K^m - 1 = ( K - 1 )( K^m-1 + K^m-2 + ... + 1 )

なので、2^r - 1 は必ず合成数となります。

2) 対偶となる「r が 2 のベキでないなら 2^r + 1 は合成数」を示します。r = m( 2n + 1 ) ( m, n は 1 以上の整数 ) とすると、

2^r + 1 = 2^m(2n+1) + 1 = ( 2^m )²ⁿ⁺¹ + 1

となります。2^m = K とすると、

2^r + 1 = K²ⁿ⁺¹ + 1 = ( K + 1 )( K²ⁿ - K^2n-1 + ... - K + 1 )

なので、2^r + 1 は必ず合成数となります。

2^r - 1 の形の素数を「メルセンヌ数」、2^r + 1 の形の素数を「フェルマーの素数」というそうです。

( 出典元 「群・環・体入門」 新妻弘・木村哲三 著 共立出版 )  

非常に寒い一日でした。

年が明けてもう一週間を過ぎてしまいました。早いものです。休み中はダラダラと過ごしていたので仕事が始まってからが結構きつかったです。明日は成人の日で休みなのがありがたいです。
スマホを使うようになって Google アカウントも取得したわけですが、Google ドライブを利用しようと思ってソースのバックアップをアップロードすると途中でオフラインモードに切り替わってしまいます。アーカイブ済で 100MB 程度のサイズなんですけど原因がよくわからず断念してます。利用できればバックアップ用に何かと便利なんですけどね。意外によかったのが Google カレンダーで、場所を書き込んでおくとマップにアクセスができるのが何かと役に立ちます。スマホをずっと使っていた方にとっては当たり前なのかもしれませんけど、初スマホな者にとっては新鮮に感じます。

まだ他には頻繁に利用しているアプリもなくたまに Twitter を見るくらい。本格的に使い始めるのはまだこれからでしょうかね。アプリの開発なんかにもチャレンジしてみたいところです。  

近くの神社へ初詣でに行ってきました。さすがにこの時間は人が少ないです。

昨夜は紅白をほんの一瞬ちらりと見ただけで、あとはガキの使いを見てました。大晦日というのに何だか普通の日と同じような感覚で ( カウントダウンのときは居眠りしてましたし )、今日も正月が来たという気がしませんでした。初詣でに行って少しは正月気分が味わえた気がします。

さて、今年の抱負はもう決めていて、すばり「体を鍛える」です。と言ってもハードな運動をするのではなく、体重を適正値に、血液検査でオールクリアを目指します。今年の健康診断ではコレステロール値が上がっていたのでこれではマズイと思い、一年で挽回していきたいと考えてます。あとは普通に生活できれば文句はないです。

それでは今年も一年、よろしくお願いします。