Fussy's Diary

昨日から名古屋も大雪でした。

休日中は近くに出かけただけでほとんど家にいました。雪道には慣れていないので、ほんの少し出かけるだけでも大変です。雪は明日まで続くということで、会社にたどり着けるか心配ですね。運悪く、センター試験とも重なって受験生にとっては大変な二日間だったと思います。いつも思うんですけど、なぜこういう時期に試験をするんでしょうかね。

「数学問題bot」から、センター試験の問題を選んでみました。一応、検算はしてますが、合っている保証はありません。

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二次関数 y = -x² + ( 2a + 4 )x + b の頂点座標が直線 y = -4x - 1 上にあるとする。この二次関数の 0 ≤ x ≤ 4 における最小値が -22 のとき、a の値とそのときの最大値を求めよ ( 12 センター数学 1A )

y = -x² + ( 2a + 4 )x + b = -[ x - ( a + 2 ) ]² + ( a + 2 )² + b

より二次関数の頂点は ( a + 2, ( a + 2 )² + b ) になります。この座標が y = -4x - 1 上にあるので

( a + 2 )² + b = -4( a + 2 ) - 1 より

b = -a² - 8a - 13

となります。x = 0 のとき y = b = -a² - 8a - 13、x = 4 のとき y = 8a + b = -a² - 13 なので、a > 0 ならば x = 0 のとき、a < 0 ならば x = 4 のとき最小値となります。

前者の場合、-a² - 8a - 13 = -22 より a² + 8a - 9 = 0 なので a = -9, 1 で、a > 0 より a = 1 となります。このとき、b = -22 で、

y = -( x - 3 )² + 3² - 22 = -( x - 3 )² - 13

なので、最大値は -13 となります。

後者の場合は -a² - 13 = -22 より a² = 9 なので a = ±3 で、a < 0 より a = -3 となります。このとき、b = 2 で、

y = -( x + 1 )² + ( -1 )² + 2 = -( x + 1 )² + 3

なので、最大値は 3 となります。