Fussy's Diary

少し前に初めて若鯱家に入りました。

名古屋ではカレーうどん専門店として有名ですが、今まで入ったことがなかったんですよね。で、外出時に一度食べてみようと思い立ったわけですが、予想以上に熱くて食べるのに苦労しました。しかし、辛さはそうでもなく、辛いもの好きには物足りないかもしれません。自分にとってはちょうどよかったですが。

昔、拾った大学入試問題です。例によって合っている保証はありません。

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n を自然数とし In = ∫{0→1} xⁿe^x dx とおく。 (中略) 3) lim{n→∞} n( n * In - e ) を求めよ ( 01 大分医科大 )

部分積分法を使って

In
= ∫{0→1} xⁿe^x dx
= [ ( 1 / n )xⁿ⁺¹e^x ]{0→1} - ∫{0→1} ( 1 / n )xⁿ⁺¹e^x dx
= e / n - [ [ 1 / n( n + 1 ) ]xⁿ⁺²e^x ]{0→1} + ∫{0→1} [ 1 / n( n + 1 ) ]xⁿ⁺²e^x dx
= e / n - e / n( n + 1 ) + e / n( n + 1 )( n + 2 ) - ... + ( -1 )^k+1∫{0→1} [ ( n - 1 )! / ( n + k )! ]x^n+ke^x dx
= e / n + eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^k( n - 1 )! / ( n + k )! )

となるので、

nIn - e
= n[ e / n + eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^k( n - 1 )! / ( n + k )! ) ] - e
= eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^kn( n - 1 )! / ( n + k )! )
= eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^kn! / ( n + k )! )

であり、

n( nIn - e )
= eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^knn! / ( n + k )! )
= e{ -1 / ( 1 + 1 / n ) + 1 / [ ( n + 1 )( n + 2 ) / n ] - ... } → -e (n→∞)

となります。
  

囲碁棋士の井山裕太さんが七冠達成するかというニュースを見たのが少し前。そして最近、ついに達成したとのニュースが流れ、新聞でも大きく報じられていました。師匠からは「自由に打て」と指導されていたというので、おそらくその天賦の才能を見抜いていたんじゃないでしょうか。その代わり礼儀にはかなり厳しかったそうです。グーグルの AlphaGo との対戦を見てみたいものです。

囲碁のルール、実は全く知りません。NHK で囲碁の対局をやっていて、たまに見ることがあるんですけどやっぱり何をやっているのか全く把握できません。いや、見ているうちに何となくわかるんじゃないかと期待したのですが無理でした。それならルールを覚えればいいじゃないかと言われそうですが、そこまで興味もなく。

話は変わって、アルゴリズムのコーナーを更新しました。ウェーブレット変換の後半部になりますが、今回は JPEG2000 で使われている変換方法についても新たに追加しています。かなり見直しをしていますので、興味のある方はぜひご覧ください。

リンク先 ... 圧縮アルゴリズム (9) ウェーブレット変換 -2-

囲碁にちなんでこんな問題を選んでみました。

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白石 180 個と黒石 181 個、計 361 個の石が横に一列に並んでいる。石がどう並んでいても、以下の条件を満たす黒の石が少なくとも一つあることを示せ。「その黒の石とそれより右にある石をすべて除くと、残りは白黒同数となる。ただし、石が一つも残らない場合も同数とみなす。」 ( 01 東大文系 )

黒石が先頭にあるとその石以降を取り除けば同数となるので、先頭は必ず白石であると仮定できます。また、黒石が末尾にあると、それを取り除けばどちらも同数の 180 個になるので、末尾もやはり白石と仮定できます。
白・黒の石の並び方に関係なく、黒石のある箇所で白石の数を黒石が超えれば条件を満たすことになるので、条件を満たさずに並べるためには黒石の数が白石の数を超えないように並べなければなりません。白石の数は 180 個なので、黒石も 180 個までは条件を満たさないように並べることができます(簡単な例としては、最初に白石を 180 個、その後に黒石を 180 個並べた場合です)。しかし、最後に黒石が一つ余ってしまうため、それを並べてしまえば条件を満たしてしまいます。なお、白石が末尾になるように白・黒同数の 180 個を条件を満たさずに並べることはできません。なぜなら、白石が末尾にあるときはその前にある黒石の数が白石の数を超えてしまい、条件を満たしてしまうからです。よって、命題が証明されました。

この問題は、白石の数を任意の N 個とし、黒石の数を N + 1 個とした場合でも成り立ちます。これは帰納法で証明できます。
N = 1 のときは、黒石がどちらかの端にならないように並べることが不可能なので、命題が成り立ちます。N 個の場合に命題が成り立つと仮定した時、これに白・黒ひとつずつの石を加える事を考えます。条件を満たす黒石の位置(これを P と名付けます)に対し、加える石を両方とも P より先頭側か末尾側のどちらか一方に任意に入れた場合は P の位置で条件が成り立ってしまうため、条件を満たさないようにしたければ、それぞれの石は異なる側に置く必要があります。白を P より先頭側においた場合、P の位置で白・黒同数となり、それ以降は黒石が一つだけ多い状態になります。その部分は白石の数が N 以下なので、条件を満たす位置が新たに見つかることになります。逆に黒石を P より先頭側においた場合、P を含めた末尾側が白・黒同数となり、P を除いた先頭側が黒の一個多い状態となります。これも白石の数は N 個以下なので条件を満たす黒石が見つかり条件を満たすことになります。
よって、命題が証明されました。
  

名古屋ボストン美術館で開催されている「ルノワールの時代」展を見に行きました。目当てはもちろんこの絵。



ルノワール、やっぱりいいですね。しばらく椅子に座って眺めてました。しかし、他にもいいなと思った絵が何枚かあったのに、ポストカードが一枚もなかったのがショックでした。あったのはルノワールのこの絵のみ。店員さんに聞いてみたのだけど、売り切れたのか元からないのかはっきりせず、結局あきらめました。気に入った絵を見つけて、そのポストカードを買うというのがいつものパターンだったので少々残念。

ルノワールといえば、京都市美術館でも展覧会を開催してますね。先週の日曜美術館では「カラヴァッジョ展」が紹介されていてこちらは東京の国立西洋美術館。あと、豊田市美術館ではデトロイト美術展が間もなく開催される予定で、どれも見てみたいんですけど、とりあえず豊田市美術館だけは行けるかな。  

現在、ウェーブレット変換・多重解像度解析あたりを再度勉強中です。非常に奥が深い、というか難しいです。
ようやく JPEG2000 で使われているフィルタの内容を理解することができました。でも、他の変換法に比べてどう違うのか、評価する方法がわからず現在調査中です。まだ道程は長そうです。

息抜きに、昔拾った問題を解いてみました。合っている保証はありません。

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a は定数。x¹⁵¹ を x⁵ - a で割った余りを求めよ。 ( 09 慶應 )

x¹⁵¹ = ( x⁵ - a )( x¹⁴⁶ + ax¹⁴¹ + a²x¹³⁶ + ... + a²⁸x⁶ + a²⁹x ) + a³⁰x より a³⁰x  

昨日の朝、NHK ニュースでプリンスの写真が出たときにもしかしてと思ったら、残念ながら予感が的中してしまいました。享年 57 歳。まだ若いですよね。

プリンスそのものはあまり曲を聴いていませんが、そのファミリーのシーラ E の方は好きでした。どちらも派手なパフォーマンスでしたよね。曲ならバングルスに提供した Manic Monday が好きでしたね。いずれにしても、80 年台にリアルタイムで見聴きしていたミュージシャンがまたいなくなってしまってさみしいです。ご冥福をお祈りします。
ところで、27 種類も楽器が扱えたというのは知りませんでしたが、ギターはうまかったですね。何となくジミ・ヘンドリックスを意識していたようにも思います。  

入学式も終わって新しい生活を始めた人もいれば、来年の合格を目指す浪人生の方も数多くいると思います。

自分も一浪して大学に入りました。初めての入試のときは国公立は一つしか受けられず、第一志望を受験して見事に落ちました。次の年から二つは受けられるようになって、すべり止めに二校を受けたわけですが、第一志望の方の試験の結果は芳しくなくてもう落ちたとあきらめていました。なので、合格発表のときに自分の番号を見つけた時は、うれしいというよりビックリしました。
浪人時代にコンピュータに興味を持ち始めてプログラムなんかもこの頃に覚えました。第一志望は理学部だったんですけど、第二志望の方は情報処理学科にしたので、どちらにしようか実は迷ったんですよね。もし第二志望の方を選んでいたら、人生変わっていたかもしれませんね。

このブログを見てる人は数少ないですけど、もしかしたら浪人生の方も見てるかもしれないので、自分の経験からアドバイスできることを書くとすれば

■予備校は通っておいたほうがいいです。

生活も規則正しくできるし、仲間がいた方が心強いですね。センター試験対策には役に立つし。

■理系専攻なら大学の参考書も読んだほうがいいです。

最近、大学入試の問題を解いてみたりすると、大学で習う知識があった方がやっぱり有利だなと感じます。参考書に限らず、古典数論の本なんかも読んでおくと何かといいかもしれないです。
予備校で過去問を解いているよりいいような気さえします。

■英語は大事です。

これは大学入試に限った話ではないです。英文の読解力がもっと高ければと今でも思います。英会話が得意なら海外に進出することも夢ではないですしね。

以上、もし過去に戻れるのなら昔の自分に説教してやりたいくらいです。予備校には通ってましたけどね。



熊本にも浪人生の方はいると思います。ちょうど今の時期に自分も謎の高熱で一週間くらいダウンしてほとんど予備校に通えない時があって、その時はこのまま治らないんじゃないかとまで考えすごく焦りを感じました。
でも、ちゃんと完治して挽回もできました。今はあせらず、まず身の安全を第一に考えてほしいと思います。  

近くの公園で八重桜が満開でした。



今日は雨と風が強かったので、もうかなり散ってしまったのでしょうか。その前に見られてラッキーでした。
そして、その公園にある巨大な木です。名前はわかりませんでした。某電機メーカーの CM を思い出します。



熊本の突然の地震には本当に驚きました。災害はいつ起こるかわからないというのを改めて実感してます。東海地方でもいつか起きるといっているのに小さな地震もほとんど発生しないのがかえって不気味で、今回のようにある日突然ということになるんじゃないかと思うと、常に気を配っておければベストなんですよね。ともかく今は、一日でも早い復旧を願ってます。  

さっきから大雨降ってます。明日も雨の予報でしたっけ？

ウェーブレット変換はかなり奥が深く、本格的に勉強しようとすると大変です。以前まとめたドキュメントはいろいろと変な箇所があって、まずはそれだけでも修正しようと思っていますが、さらに新しい内容を追加しようとするとまだ理解度が不足しているのでかなり時間が掛かりそうです。実はもう一つ、統計の分野の PLS をまとめてみようとも思っていて、どちらを優先するか悩んでます。まず、いまのところはウェーブレット変換の方を優先しています。

昔拾った問題をまた解いてみましたが、今回はテーラー展開を使っています。高校の時は確か習わないのでこれはアウトかな？
例によって合っている保証なしです。

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1) 実数 x が -1 < x < 1, x ≠ 0 を満たすとき、( 1 - x )^1-1/x < ( 1 + x )^1/x を示せ。
2) 次の不等式 0.9999¹⁰¹ < 0.99 < 0.9999¹⁰⁰ を示せ ( 09 東大理系 5 )

1)

log( 1 + x )^1/x = ( 1 / x )log( 1 + x ) より、f(x) = log( 1 + x ) をテーラー展開すると、

f⁽¹⁾(x) = ( 1 + x )^-1
f⁽²⁾(x) = -( 1 + x )^-2
f⁽³⁾(x) = 2( 1 + x )^-3
:
f^(k)(x) = ( -1 )^k-1( k - 1 )!( 1 + x )^-k

より、

f(x)
= f(0) + Σ_k{1→∞}( ( 1 / k! )f^(k)(0)x^k )
= Σ_k{1→∞}( ( 1 / k! )( -1 )^k-1( k - 1 )!x^k )
= Σ_k{1→∞}( ( -1 )^k-1x^k / k )

なので

log( 1 + x )^1/x = Σ_k{1→∞}( ( -1 )^k-1x^k-1 / k )

となります。また、log( 1 - x )^1-1/x = ( 1 - 1 / x )log( 1 - x ) も、g(x) = log( 1 - x ) をテーラー展開すれば ( 先の式に対して x を -x に代えるだけなので )

g(x) = Σ_k{1→∞}( -x^k / k )

より

( 1 - 1 / x )log( 1 - x )
= [ ( x - 1 ) / x ]Σ_k{1→∞}( -x^k / k )
= ( 1 - x )Σ_k{1→∞}( x^k-1 / k )

となります。両者を引き算すると

log( 1 + x )^1/x - log( 1 - x )^1-1/x
= Σ_k{1→∞}( ( -1 )^k-1x^k-1 / k ) - ( 1 - x )Σ_k{1→∞}( x^k-1 / k )
= Σ_k{1→∞}( [ ( -1 )^k-1x^k-1 / k - x^k-1 / k ] + x^k / k )
= Σ_k{1→∞}( [ ( -1 )^k-1 - 1 ]x^k-1 / k + x^k / k )
= Σ_k{1→∞}( -2x^2k-1 / 2k + x^2k-1 / ( 2k - 1 ) + x^2k / 2k )
= Σ_k{1→∞}( x^2k / 2k - [ ( k - 1 ) / k( 2k - 1 ) ] }x^2k-1 )
= Σ_k{1→∞}( x^2k / 2k - [ k / ( k + 1 )( 2k + 1 ) ] }x^2k+1 )
= Σ_k{1→∞}( { 1 / 2k - [ kx / ( k + 1 )( 2k + 1 ) ] }x^2k )

-1 < x < 0 のとき、kx / ( k + 1 )( 2k + 1 ) < 0 かつ x^2k > 0 なので (右辺) > 0 になります。
0 < x < 1 のとき、(右辺) > Σ_k{1→∞}( 1 / 2k - [ k / ( k + 1 )( 2k + 1 ) ] ) で、

1 / 2k - [ k / ( k + 1 )( 2k + 1 ) ]
= [ ( k + 1 )( 2k + 1 ) - 2k² ] / 2k( k + 1 )( 2k + 1 )
= ( 3k + 1 ) / 2k( k + 1 )( 2k + 1 ) > 0 なので、

0 < x < 1 かつ x ≠ 0 ならば命題が成り立つことが証明されました。

2)

0.9999¹⁰¹ = ( 0.99・1.01 )¹⁰¹ = 0.99¹⁰¹・1.01¹⁰¹ より

1.01¹⁰¹
= [ 1 - ( -0.01 ) ]^1-1/(-0.01)
< [ 1 + ( -0.01 ) ]^-1/0.01
= 0.99^-100

よって 0.9999¹⁰¹ < 0.99¹⁰¹・0.99^-100 = 0.99 となります。

また、0.9999¹⁰⁰ = ( 0.99・1.01 )¹⁰⁰ = 0.99¹⁰⁰・1.01¹⁰⁰ より

1.01¹⁰⁰
= ( 1 + 0.01 )^1/0.01
> ( 1 - 0.01 )^1-1/0.01
= 0.99^-99

よって 0.9999¹⁰⁰ > 0.99¹⁰⁰・0.99^-99 = 0.99 となります。

以上から、命題が成り立つことが証明されました。
  

この間の雨で桜もだいぶ散ってしまいました。先週に散歩がてら満開の桜の木が撮影できたので載せておきます。



数学問題botから昔拾った問題です。うまい解き方が見つかったので公開。しかし、合っている保証なしです。

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正十角形の各頂点に 1 ～ 3 のいずれかの数を割り当て、それらの総和を S とする。1 が付けられた頂点が 5 個以上あり、かつ S ≤ 19 のとき、1 から S のどの自然数 n も連続する何頂点か ( 1 頂点でもよい ) に付けられた数の和として表せることを示せ ( 第 29 回シュプリンガー数学コンテスト )

1 が 5 つ以上あるので、残りの頂点は S ≤ 14 の範囲で割り当てる必要があります。従って、残りの頂点が全て 3 になる場合は除外できます。
まず、1 だけで構成された場合を考えると明らかに成り立ちます。次に、1 と 2 だけで構成されている場合を考えます。但し、1 は少なくとも 1 つは存在するとします。全体での和は S になるので、この中からどれか一つだけ 1 の頂点を除外すると、和が S - 1 になる連続した部分が得られます。その部分の両端には 1 か 2 が存在するので、

1) 1 があればその頂点を外し、
2) 2 しかかなければいずれかを外して前に除外した 1 を復活する

ことを繰り返します。このとき、最初に除外した頂点が 1 で、手順から少なくとも片側には前に 1 を除外したか、1 が復活して残っているので、前者なら 2) の手順が可能であり、後者なら 1) の手順が可能です。従って、1), 2) の手順は必ずできることが保証され、この場合は少なくとも一つの 1 があれば成り立ちます。

次に、3 を含めた場合を考えます。3 は最大でも 4 つしか含められないので、S が最大となる場合は 2 が一つ、3 が 4 つ含まれる場合です。そのため、必ずどこかに 1 が連続して二つ並んだ部分 { 1 1 } か 2 が 1 に挟まれた部分 { 1 2 1 } が存在します。なぜなら、1 以外の数を x としたとき、1 が連続しない並べ方は { 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x } しかなく、x の少なくとも一つは 2 だからです。

まず、{ 1 1 } の場合を考えると、最初にこの部分を除外すれば残り 8 つの頂点が残ります。両端のうち片側のみに着目し、1 ならそれを除外すると和が一つ少ない部分が得られます。また、2 の場合はそれを除外して { 1 1 } を復活させると和が同数の部分になります。この後、1 を一つずつ除外すれば、和が 2 つ少ない部分まで得られることになります。3 だった場合はそれを除外して { 1 1 } を復活させると和が一つ少ない部分が得られ、2 の場合と同様の手順で和が 3 つ少ない部分まで得られます。端に除外された { 1 1 } があることが保証されているので、これは最後まで進めることができ、成り立つことが確認できます。

最後に { 1 2 1 } を持つ場合、除外する代わりに、この部分から片方向に順番に生成する方向で考えます。このとき、最初は 1 以外の数で、その後 1 とそれ以外の数が交互に得られることを考慮すると、次の数が 2 だったときは { 1 2 1 } の端の 1 を除外してからもう片側の 2 をつなぎ、次に先ほど除外した 1 をつなげば順番に 2 だけ大きな和まで生成することができます。また、3 の場合は端の { 1 2 } を除外して 3 をつなぎ、3 の次にある 1 をさらにつなぎます。今度は今つないだ 1 を除外して { 1 2 } の中の 2 だけをつなぎ、次は両端に残った 1 を順番につないでいきます。この操作によって、全ての和について連続した部分を生成することが可能となります。

以上から、命題が成り立つことが示されました。  

最近のゲームの画面は実写と比べても遜色ないほど進化していますね。

ゲームの内容自体は別にして、画面を見るだけでも楽しめるものがあって、よく YouTube やニコニコのゲーム実況を見ています。YouTubeの方が画質のいいものが多くて、見るたびにすごいものだと感心します。元々、画像処理関係のプログラムなどが好きで、最近は 3D も勉強中なので、ゲームの画面処理にはなおさら興味があります。
ゲームの予告画面(トレーラー)もよく見ますが、かなり迫力のある映像が楽しめます。ゲーム自体はしないのにこういうのだけ見ているというのも制作会社にとってはありがたくないことなんでしょうけどね。

去年の話になりますが、PC 版の Skyrim という RPG がかなり安かったので購入してみました。しかしこのゲーム、Steam というゲーム用プラットフォームをインストールしなければプレイができず、面倒くさくてしばらく放置していました。時間の空いた時に Steam と Skyrim をインストールしてプレイできるようになったのですが、実はまだ 30 分くらいしか遊んでなくて、また放置してます。Steam をインストールした後、無料のソフトで Source Filmmaker というのを見つけて試しに使ってみたらこれが意外におもしろく、代わりにこれでしばらく遊んでました。このソフト、ゲームではなく、ゲーム専用のムービー(ゲーム中のイベントやトレーラーなど)を作成するためにゲーム・メーカーが開発したもので、現在はベータ版として無料で公開されています。かなりクセはありますが、使ってみると簡単にムービーなどが作成できてなかなか面白いです。キャラクターなどはプリセットされているので、実際に操作しているところを録画して少しの修正を加えれば、ちょっとした動画なら割と簡単に作成できます。しかし残念ながら、プロの作成するような動画を作るなんてことは自分では無理でした。もし、興味のある方は一度お試しあれ。

それにしても、このままいくと映画は廃れていって、ゲームがその代わりになっていくんじゃないでしょうか。そのときはもうゲームではなく、VR映画とかそんな名前で呼ばれているかも。