Fussy's Diary

今日はほとんど嵐のような天気の一日でした。

もうすぐ四月、いよいよ消費税が 8% になります。注文しようと考えていたものが結局売り切れ状態で、今月中の購入は断念しています。そのうち値下がりするので、待ちさえすれば税金分の元は取れると思うんですけどね。
今月のはじめ頃、世界的にも有名なギター専門のメーカー「ヤイリギター」の社長が亡くなったというニュースがありました。初めてヤイリの名前を聞いたのは少なくとも 10 年以上前で、そのころから気になってはいたのですが、宝の持ち腐れになってしまってももったいないなと思って購入までには至っていませんでした。ちなみにメインはボリビア産という珍しいもので、もう一本はスペイン産なので日本製のギターを持っていなかったりします。タカミネとかを大学時代に使ったくらいでしょうか。

もう、そんなにギターに触れているわけではないので、購入しても飾りになるだけですが、それでもどんな感触なのか少し気になります。オーダーメイドでも作ってもらえるというのに誘惑されるんですよね。  

行き詰まった時についつい挑戦したくなります。おかげで本題の方がなかなか進みません。しばらくは封印したいと思います。

■ p を素数、n を正の整数とするとき、( pⁿ )! は p で何回割り切れるか (09京都・文理)

1 から pⁿ までの数の中に、p の倍数は p^n-1 個ある。なぜなら、p の倍数は p 個おきに見つかるから。同様に考えれば、p² の倍数は p^n-2 個ある。これを続けると、最終的には pⁿ の倍数として pⁿ そのものが 1 個だけ見つかる。

p² の倍数は p の倍数でもあるので、1 個分が p の倍数の個数分に含まれる。p² の倍数 1 個に対しては 2 個の p が含まれるので、残りは p^n-2 個になる。p³ の倍数は p² と p の倍数でもあり、すでに 2 個分はカウントされているので、残りは p^n-3 個。

従って、Σ{0→n-1}( p^k ) を求めれば 1 から pⁿ までの数の中に含まれる p の個数が得られる。これは、(pⁿ)! に含まれる p の個数そのものである。

パズルみたいで解いていて結構楽しかったです。小さな数で実際に試してみるのが理解する一番の近道でしょうか。  

もうすぐ 4 月です。会社の組織変更で人の入れ替えが多く、明日は送別会が予定されています。

「数学問題 bot」から、もう一問解いてみました。2009 年の東北大の問題です。

1) a + b = c のとき、a³ + b³ ＋ 3abc = c³ を示せ。
2) a + b ≥ ｃ のとき、a³ + b³ + 3abc ≥ c³ を示せ。

1) は簡単なので 2) だけ。

a³ + b³ + 3abc - c³
= ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + 3abc - c³
= ( a + b - c )[ ( a + b )² + ( a + b )c + c² ] - 3ab( a + b - c )
= ( a + b - c )[ ( a + b )² + ( a + b )c + c² - 3ab ]
= ( a + b - c )( a² + b² + c² - ab + bc + ca )
= ( a + b - c )[ ( a - b )² + ( b + c )² + ( c + a )² ] / 2

a + b ≥ c より a + b - c ≥ 0 なので (上式) ≥ 0 になる。

式の変形に気付くことができれば簡単だと思いますが、時間のあるときに悩んで二日ほどでやっと解けたといったところです。
暇つぶしに適当な問題に挑戦するのは結構いい頭の体操になります。問題は、出題される数が多くて目移りしてしまうこと...  

Twitter で面白いアカウントを見つけました。「数学問題 bot」というアカウントです。問題を一つ選んで挑戦してみました。

「1 から 11 までの自然数からなる集合を N とする。N をどのように 2 つの集合 A, B に分割 ( N = A ∪ Bかつ A ∩ B ＝ ∅ )しても、A または B の部分集合 S で、S に属する要素の和がちょうど 12 になるものが存在することを示せ」

要は、1 から 11 までの数をどのように二つに分けても、どちらかに和が 12 となるような組み合わせが存在するという意味です。とりあえず解いてみましたが、後で回答を見つけて確認したところ、最初だけ一致していたものの途中から異なる証明をしていました。一応合っているとは思うのですが ...

(解法)

二つの要素の和が 12 になる組み合わせは ( 1, 11 ), ( 2, 10 ), ( 3, 9 ), ( 4, 8 ), ( 5, 7 ) の 5 つ。従って、これらのペアが同じ集合に属すれば必ず和が 12 になる要素が見つかる。各組み合わせの要素が全て異なる集合に属する場合を考えると、残りの要素 6 がどちらに入るのかを考慮すれば 2⁵ = 32 通りになる。全ての場合において和が 12 になる要素が存在すれば証明できる。6 を除けば、対称性から 16 通りを考えればよいので、まずは 16 通りを調べて和が 12 となる組み合わせがなければ 6 を追加することにする (結局 6 は不要となりました)。

なお、3 つ以上の要素から和が 12 になる組み合わせは

( 1, 2, 9 ) ( 1, 2, 3, 6 ) ( 1, 2, 4, 5 )
( 1, 3, 8 ) ( 1, 4, 7 ) ( 1, 5, 6 )
( 2, 3, 7 ) ( 2, 4, 6 )
( 3, 4, 5 )

がある。

以下、A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 11, 10, 9, 8, 7 } を初期状態として、5 桁の二値データはペアの要素を入れ替えた個所を 1 で表しているものとする。例えば、00001 ならば 5 と 7 を入れ替えたもの。二値データが二つあるのは、どちらも A, B を入れ替えただけで同じ意味になるから (ちなみにビット反転すればもう片方のデータが得られます)。

1) 00000 11111
A 1 2 3 4 5 → [1 2 4 5]
B 11 10 9 8 7

2) 00001 11110
A 1 2 3 4 7 → [2 3 7]
B 11 10 9 8 5

3) 00010 11101
A 1 2 3 8 5 → [1 3 8]
B 11 10 9 4 7

4) 00011 11100
A 1 2 3 8 7 → [1 3 8]
B 11 10 9 4 5

5) 00100 11011
A 1 2 9 4 5 → [1 2 4 5]
B 11 10 3 8 7

6) 00101 11010
A 1 2 9 4 7 → [1 4 7]
B 11 10 3 8 5

7) 00110 11001
A 1 2 9 8 5 → [1 2 9]
B 11 10 3 4 7

8) 00111 11000
A 1 2 9 8 7 → [1 2 9]
B 11 10 3 4 5

9) 01000 10111
A 1 10 3 4 5 → [3 4 5]
B 11 2 9 8 7

10) 01001 10110
A 1 10 3 4 7 → [1 4 7]
B 11 2 9 8 5

11) 01010 10101
A 1 10 3 8 5 → [1 3 8]
B 11 2 9 4 7

12) 01011 10100
A 1 10 3 8 7 → [1 3 8]
B 11 2 9 4 5

13) 01100 10011
A 1 10 9 4 5
B 11 2 3 8 7 → [2 3 7]

14) 01101 10010
A 1 10 9 4 7 → [1 4 7]
B 11 2 3 8 5

15) 01110 10001
A 1 10 9 8 5
B 11 2 3 4 7 → [2 3 7]

16) 01111 10000
A 1 10 9 8 7
B 11 2 3 4 5 → [3 4 5]

これで、全ての場合に対して和が 12 となる要素があることが証明された。  

ロジスティック回帰の勉強、まだ継続中です。現在は少々行き詰まっている状態。また更新が遅れていくのはいやなので、同時に正規表現のページを見直しています。

理解できない個所があると、Web 上から情報を入手するところからスタートします。しかし見つかることは稀で、そのうち集中力が切れて他のサイトを見始めてしまうことがよくあります。特に「YouTube」や「ニコニコ動画」は要注意です。最近は「Twitter」も加わりました。

気晴らしには散歩がいいのかもしれません。昨日はあまりにも風が強くて外出には不向きでしたけど、もう一週間もすれば春らしくなってくれると思います。ところで、自分は桜にはいい思い出がないんですよね。昔、春頃につらいことがあって、それ以来は春が来ると悲しい気分になります。  

「初音ミク」が発売されて 7 年近く経つのですが。

最初はバーチャル・アイドルとか呼ばれていたので歌詞を入力したら勝手に歌ってくれるものと思っていました。そのうち、DTM ソフトの一つということが分かったものの、それでもあまり興味を持っていませんでした。
ところが最近 You Tube なんかで作品を見たりしていると、結構面白いことができそうに感じてついこの間 「初音ミクV3」 を購入しました。ついでに Windows 上での DTM の使い方なんかも Web で調べて、本日さっそく打ち込んでみました。適当に入力しただけでちゃんと歌ってくれるのには少し感動しましたよ。ところが楽器の使い方はマニュアルがほとんどなく、まだ使い方がよくわからない状態です。

過去に DTM をやっていた頃は x68000 というマイナーな PC 上で、しかも MML という専用マクロをエディタで打ち込んでいました。音源は Roland の SC-88 と SC-88 Pro を二台持っていて、両方から音を鳴らしてみたこともあります (今でも大事に箱のなかにしまってあります)。Dream Theater の A Change Of Seasons は 20 分以上の長い曲で、これを全部打ち込んだことも。あの頃は我ながらパワーがあったなと思います。元々は PC 上で音楽を鳴らしたかったのが DTM をやっていた理由で、そのうち mp3 などで PC 上で普通に音楽が鳴らせるようになったら興味が半減してしまいました。さらに、著作権上の問題で打ち込んだコピー曲を Web 上で公開できなくなったことが決定打となって、完全に DTM をやめてしまいました。今になって思えばもったいなかったような気もします。

打ち込みをしていた頃の不満の一つがボーカルの再現で、こればかりは毎回悩んでいました。今では歌うことまでできてしまうというのは、進歩したのだなあと感じます。今度はオリジナル曲に挑戦してみようかと考えていますが、その前に使いこなせるようになる必要がありますね。
  

Twiiter 始めました。今頃かよと言われそうですが。

一応、仕事はシステム関連なんですが、SNS は一切やったことがなかったです。未だに HTML を編集してホームページを作っているくらいで、かなり古い人間と思われそうです。いや、実際そうなんですけどね。しかし、去年までは受身な生活が続いていたような気がして、今年はもう少しアクティブにいろいろと試してみようと思っています。
でも、Facebook や LINE なんかはまだ試してません。というより、未だに Twitter も使いこなせてないですし。有名人の Twitter をフォローしたりして、ツイートしてもいいかどうかよく分からず、とりあえず送ってみたい人だけツイートしてみました。あと、知り合いで Twiiter している人があまり見つかりません...  

ようやく、春らしくなってきましたね。

二月から、毎週金曜日の夜に「MIT白熱教室」が再放送されています。第二回の放送を偶然見つけて、それから欠かさず見ています。先々週が「完璧な虹を見る方法」で、先週は「音に秘められた驚きのパワー」でした。虹の見える仕組みは、何となくイメージしていたのとはかなり異なり、非常に勉強になりました。音に関する講義もいろいろと面白い話が聴けてよかったです。そしていよいよ今週の金曜日は「量子力学と不確定性原理」で、去年見ることができなかった番組です。今から非常に楽しみです。

番組では音楽と物理の関係を紹介していましたが、数学との関係も興味深いものがあります。音楽に関係する数学者で有名なのがピタゴラスで、弦楽器に張った弦の両端に対してちょうど中央を押さえると音が 1 オクターブ高くなることを発見したと言われています。さらに音階も整数比によって構成されると考え、「ピタゴラス音律」を考案しました。まさに「万物の根源は数である」と考えたピタゴラスらしい発想だと思います。ちなみに、番組の中でも弦の長さや(管楽器の)管の長さと音の関係を紹介していました。  

東日本大震災から三年が経ちました。

地震のあったときは会社のサーバ室の中で同僚と電話していました。地震は弱かったものの長い時間揺れ続いたことに妙な不安を覚え、電話を途中で打ち切りました。東北で大きな地震、関東地方にも被害という情報だけを知って家に戻ってから初めてその惨状を目の当たりにして、かなりショックを受けたのを覚えています。あの津波の映像は忘れたくても忘れられない光景でした。
今日は会社でも黙祷を行いましたが、その時にいた場所も三年前と同じサーバ室の中でした。黙祷しながら思い出したのは、やはりあの津波の映像でした。

一日でも早い復興を願いつつ。  

昨日、石川智晶さんのライブ「裏窓からみえるモノ」を見に行きました。

ちょうど歯医者の予約日と重なってしまい、検診を済ませてから名古屋・新栄の「ダイヤモンドホール」へ。見に行こうか迷っているうちにチケットが残りわずかとなってしまい慌てて購入したせいで席は一番後ろの端の方でしたが、石川智晶さんの姿はちゃんと見ることができました。しかし、残念ながらギターの方は前のお客さんの頭に隠れて全くといっていいほど見ていません(最初はいらっしゃることにも気付きませんでした)。
内容はどうだったかというと、素晴らしいの一言です。「僕はまだ何も知らない」から新しい CD の「前夜」まで、ライブで聴きたかった曲のほとんどを聴くことができて、MC も非常に楽しかったので非常に満足しました。何より、CD で聴いたあの声がほとんどそのままに生で聴けるというのは感動モノです。日本では知名度があまり高くなく(海外の方が知名度は高いのではないでしょうか)、もっと多くの方に知ってもらいたいと本当に思います。これだけすごい方はそうそういないですよ。

ところで、新しい CD はライブ当日に購入したわけなのですが、本日、握手サイン会があるというのを知ったのは今日の 11 時頃。アニメイトで購入していたら参加券がもらえたそうで、さすがに同じ CD を参加券のために二枚購入するわけにもいかず今回は断念しました (軽く後悔しています)。また、別の機会にぜひとも直接会ってみたいと思います。

＊石川智晶さんを応援しているもう一つの理由は自分とほとんど同い年ということ。昔と変わらず、それどころかもっと素晴らしくなったパフォーマンスを見ると、自分もまだ頑張らなければと思ってしまいます。  

明日は三月三日、ひな祭りの日です。

三月に入って急に暖かくなって来ました。先週までの寒さがウソのようです。このまま寒さが戻らなければいいんですけど、明日頃からまた寒くなりそうな予報ですね。
先週、急に背中の筋が痛み始めて歩くのも辛いくらいになり、週末に病院へ行きました。X 線写真まで撮って検査した結果は神経からの痛みではなく筋肉からくるものだろうとのことで、薬と湿布で一週間様子を見ることになりました。おかげで現在は普通に生活できるくらいに回復しています。
薬は病院ではなく近くの薬局で買う必要があったのですが、入ってすぐにジェネリック医薬品にするかどうかを尋ねられました。ジェネリック医薬品にしてもらったところ、三種類の薬と湿布で併せて 600 円程度。確かに安いなと感じました。効果が同じならジェネリック医薬品にした方がお得なようです。
少し調べてみると、ジェネリック医薬品は新薬の 2 〜 7 割程度の値段で買えるそうです。しかし、日本でのジェネリック医薬品のシェアは二割程度と非常に低く、さらに普及することが期待されているとか (出典元は「東京電子健保」の「ご存知ですか！ジェネリック医薬品」から)。これはもっと活用すべきですね。

本日、ようやく「アルゴリズムのコーナー」を更新しました。今回は予定通り「名義ロジスティック回帰」を取り上げています。まだ少し手直ししたいところも残っていますが、ある程度まとまったのでまずは公開してしまいます。