2014年03月29日

数学問題 bot (3)

行き詰まった時についつい挑戦したくなります。おかげで本題の方がなかなか進みません。しばらくは封印したいと思います。

■ p を素数、n を正の整数とするとき、( pn )! は p で何回割り切れるか (09京都・文理)

1 から pn までの数の中に、p の倍数は pn-1 個ある。なぜなら、p の倍数は p 個おきに見つかるから。同様に考えれば、p2 の倍数は pn-2 個ある。これを続けると、最終的には pn の倍数として pn そのものが 1 個だけ見つかる。

p2 の倍数は p の倍数でもあるので、1 個分が p の倍数の個数分に含まれる。p2 の倍数 1 個に対しては 2 個の p が含まれるので、残りは pn-2 個になる。p3 の倍数は p2 と p の倍数でもあり、すでに 2 個分はカウントされているので、残りは pn-3 個。

従って、Σ{0→n-1}( pk ) を求めれば 1 から pn までの数の中に含まれる p の個数が得られる。これは、(pn)! に含まれる p の個数そのものである。

パズルみたいで解いていて結構楽しかったです。小さな数で実際に試してみるのが理解する一番の近道でしょうか。

この記事へのトラックバックURL

http://fussy.mediacat-blog.jp/t98328