Fussy's Diary

先週は「勤労感謝の日」で一日お休みでした。

今年の祝日はあと一日、「天皇誕生日」を残すのみとなりました。気がつけばもうすぐ 12 月。寒さも厳しくなってきて、冬が苦手な自分にとってはつらい時期となりました。

「数学問題bot(個人用)‏」から同志社大学の問題です。例によって合っている保証なしです。

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m, n は自然数とする ( m > n )。「m と n が互いに素」⇔「2^m - 1 と 2ⁿ - 1 が互いに素」を示せ ( 同志社 )

2^m - 1 と 2ⁿ - 1 の差分は以下のように計算できます。

( 2^m - 1 ) - ( 2ⁿ - 1 )
= 2^m - 2ⁿ
= 2ⁿ[ 2^m-n - 1 ]

m, n は互いに素であることから m - n は m, n の因数を持たず ( もし持つならば、m の因数を G、m = Gm'、m - n = GK としたとき m - n = Gm' - n = GK より n = G( m' - K ) となり m, n は共通の因数を持つので矛盾 )、m, n, m - n はそれぞれ互いに素になります。
m > n, m > m - n より、n と m - n に対して同様の操作を行うと、n > m - n の場合、 n, m - n, n - ( m - n ) = 2n - m は互いに素であり、n > m - n, n > 2n - m です。さらに m - n, 2n - m に対してこの操作を行います。以下、最大数 ( 最初は m ) を除いた 2 数でこの操作を繰り返すと、常に値は小さくなっていき最終的には差が 1 になります。この 2 数を M, N ( M > N )とすると M - N = 1 で

( 2^M - 1 ) - ( 2^N - 1 )
= 2^M - 2^N
= 2^N[ 2^M-N - 1 ] = 2^N

であり、2^M - 1 と 2^N - 1 は奇数なので 2 を因数として持たず、従って互いに素です。遡って M + N, M, N では

( 2^M+N - 1 ) - ( 2^M - 1 ) = 2^M( 2^N - 1 )

より

2^M+N - 1 = 2^M( 2^N - 1 ) + ( 2^M - 1 )

であり、2^M - 1 と 2^N - 1 は互いに素で 2^M は偶数なので 2^M - 1 と 2^M( 2^N - 1 ) は互いに素なので、2^M+N - 1, 2^M - 1, 2^N - 1 は それぞれ互いに素です。これを繰り返していくと最終的に 2^m - 1 と 2ⁿ - 1 は互いに素になります。

ちなみに m = 7, n = 2 のとき

( 2⁷ - 1 ) - ( 2² - 1 ) = 2²( 2⁵ - 1 ) [ 127 - 3 = 4・31 ) ]
( 2⁵ - 1 ) - ( 2² - 1 ) = 2²( 2³ - 1 ) [ 31 - 3 = 4・7 ]
( 2³ - 1 ) - ( 2² - 1 ) = 2² [ 7 - 3 = 4 ]

で 3, 7, 31, 127 は全て互いに素になります。

2^m - 1, 2ⁿ - 1 はそれぞれ 1 のみからなる m, n 桁の二進数で表すことができます。m, n が互いに素でない時、m, n の共通因数を G とすると、2^m - 1, 2ⁿ - 1 はどちらも 2^G - 1 ( G 桁の 1 のみからなる二進数 ) で割り切れます。よって 2^m - 1, 2ⁿ - 1 は共通因数 2^G - 1 を持ち、互いに素ではありません。この対偶として、2^m - 1, 2ⁿ - 1 が互いに素なら m, n は互いに素です。  

昨日はとあるグループの忘年会に参加してきました。ほとんどカラオケ大会となっていました。

ギターの練習でよくお世話になるものに TAB 譜があります。クラシックを本格的にやっている方なら楽譜だけで弾けてしまうんでしょうが、私のような素人が楽譜をパッと見て弾けるわけもなく、耳コピしたものもたいていは TAB 譜にしてます。
昔は TAB 譜を書籍として購入する必要があったわけですが、今は TAB 譜を公開しているサイトがあります。Songsterr というサイトで、クラシックだけでなくロックなども掲載されていました。著作権がどうかというのが心配ですが、クラシックに関してはほとんど問題はないということで便利に使わせてもらってます。

Mood For A Day (Yes)

Choros No.1 ( Villa Lobos )

ギター好きにはおすすめのサイトです。
  

昨日は 11 月 11 日。中国では「独身の日」で、独身の人が自分のためのプレゼントを購入するということで、通販サイトではとんでもない売れ行きを記録するのだそうです。

そんな日にコンサートを見に行ってました。帰りは同席した友人たちと例によって飲むことに。
Rolando Encinas という、フォルクローレの世界では有名な方のコンサートでした。一部は通常のスタイル、二部はオーケストラスタイルという面白い構成で、後半は特に盛り上がってました。コンサートの前にギターのワーク・ショップを行うということでそちらにも参加してきたのですが、ワーク・ショップとコンサートの間が空いていたのでその間も飲んだ結果、ほろ酔い状態でコンサートを聴くことになったのはちょっとだけ残念でした。眠くなるようなことはありませんでしたが。

Collita (GRUPO WARA)
https://www.youtube.com/watch?v=iTTqnMVwhN8

Esperanzas (GRUPO WARA)
https://www.youtube.com/watch?v=TbfCnDe_7kg  

今日は、名古屋にある「フラリエ」というところで演奏会に参加してきました。

昔は「ランの館」という名前で、今もランをはじめとして色んな花を売っているようです。食事する場所もあり公園にもなっているので結構遊べる場所になっていましたが、今日はスタッフとしての手伝いなどもありゆっくりしている余裕はありませんでした。また、足を運んでみたい場所ですね。
打ち上げは安くておいしい中華料理店「シルクロード」にて。演奏もOKで、スタッフの方がノリノリだったのがよかったです。  

今日、11 月 2 日は「死者の日」だそうです。googleにアクセスしたときのロゴで初めて知りました。

メキシコの祝日で、日本のお盆に近いものだそうです。しかし、日本のお盆とは違ってかなり華やかにお祝いするのだとか。日本はお墓参りが定番ですが、メキシコでは墓地を派手に飾り立てるのだそうです。
キリスト教にも同じ日が「死者の日」で、こちらは死者のためにお祈りをするということで日本のお盆に近いでしょうか。ひとつ勉強になりました。