2017年02月26日

光通信

先週末は歓迎会で飲んでました。

ケーブルテレビが光ファイバーに配線切替されるということで工事の下見がありました。メールアドレスが有料になるものの月額はそのままで通信速度が速くなるということで非常にオトクな話です。しかし、ショックだったのが無線 LAN 機能標準装備ということ。ルータが最近故障して買い直したばかりだったので非常に損した気分です。もう少し故障するのが遅ければ。。。

数学問題bot」から東大の問題です。かなり悩みました。例によって合っている保証はありません。

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各世代ごとに、各個体が他の個体とは独立に、確率 p [ 0 < p < 1 ] で 1 個、確率 1 - p で 2 個の新しい個体を次の世代に残し、それ自身消滅する細胞がある。第 0 世代に 1 個だった細胞が第 n [ n ∈ N ] 世代に m 個になる確率を Pn(m) と書く。Pn(1), Pn(2), Pn(3) を求めよ ( 84 東大 )

下図は、第 4 世代まで、3 個まで分裂するときの確率を表したものです。

確率表

前の世代が 1 個の場合、次の世代では 1 個か 2 個のいずれかにしかなりません。次の世代が 1 個になる確率は前の確率に p を掛けたものになります。また、2 個になる確率は前の確率に p( 1 - p ) を掛けたものになります。
前の世代が 2 個の場合、次の世代では 2, 3, 4 個のいずれかになります。次の世代が 2 個になる確率は前の確率に p2 を掛けたものになります。また、3 個になる確率は前の確率に 2p( 1 - p ) を掛けたものになります。
前の世代が 3 個の場合、次の世代では 3 から 6 個までのいずれかになります。次の世代が 3 個になる確率は前の確率に p3 を掛けたものになります。

1 個の個体を残す事象を A、2 個の個体を残す事象を B とします。n 回目で 1 つだけになるのは常に事象 A が発生した場合なので、その確率は pn です。よって、Pn(1) = pn となります。

n 回目で 2 個となるのは、n - 1 回目で 1 個であった場合に事象 B が発生する場合と、2 個であった場合に A, B が各々発生した場合に限られます。従って、各回について 2 個になる場合は 1 つずつ増え、1 個から 2 個に変化した場合、それまでは pn-1 の確率で発生していたので pn-1( p - 1 ) の確率になります。また、2 個のままである場合、それまでの確率に p2 を掛けた確率になります。

上図から、Pn(2) = ( pn-1 + pn + ... + p2n-2 )( 1 - p ) と仮定してみます。このとき、P1(2) = 1 - p で成り立ちます。
n + 1 回目では、各事象に対して p2 を掛けたものに 1 個から 2 個に増えた場合の確率 pn( 1 - p ) を加えた値になるので

Pn+1(2)
= pn( 1 - p ) + p2( pn-1 + pn + ... + p2n-2 )( 1 - p )
= ( pn + pn+1 + pn+2 + ... + p2(n+1)-2 )( 1 - p )

となり、帰納法により正しいことがわかります。

Pn(2) = ( pn-1 + pn + ... + p2n-2 )( 1 - p )
pPn(2) = ( pn + pn+1 + ... + p2n-1 )( 1 - p ) より

( 1 - p )Pn(2) = ( pn-1 - p2n-1 )( 1 - p )

よって Pn(2) = pn-1 - p2n-1 = pn-1( 1 - pn ) となります。

n 回目で 3 個となるのは、n - 1 回目で 2 個であった場合に A, B の両方が発生した場合と、3 個であった場合に全てにおいて A が発生した場合に限られます。n 回目で 2 個から 3 個になる確率は 2 個になる確率 pn-2( 1 - pn-1 ) に 2p( 1 - p ) を掛けることで求められ、3 個のままである確率は Pn-1(3) に p3 を掛けることで求められるので、次の漸化式が成り立つことになります。

Pn(3) = p3Pn-1(3) + 2pn-1( 1 - p )( 1 - pn-1 )

これを解くと、

Pn(3)
= p3Pn-1(3) + 2pn-1( 1 - p )( 1 - pn-1 )
= p3[ p3Pn-2(3) + 2pn-2( 1 - p )( 1 - pn-2 ) ] + 2pn-1( 1 - p )( 1 - pn-1 )
= p6Pn-2(3) + 2pn+1( 1 - p )( 1 - pn-2 ) + 2pn-1( 1 - p )( 1 - pn-1 )
= p6[ p3Pn-3(3) + 2pn-3( 1 - p )( 1 - pn-3 ) ] + 2pn+1( 1 - p )( 1 - pn-2 ) + 2pn-1( 1 - p )( 1 - pn-1 )
= p9Pn-3(3) + 2pn+3( 1 - p )( 1 - pn-3 ) + 2pn+1( 1 - p )( 1 - pn-2 ) + 2pn-1( 1 - p )( 1 - pn-1 )
= ...
= p3(n-1)P1(3) + 23p-5( 1 - p )2 + ... + 2pn+1( 1 - p )( 1 - pn-2 ) + 2pn-1( 1 - p )( 1 - pn-1 )
= Σk{1→n-1}( 2p3n-3-2k( 1 - p )( 1 - pk ) )

となります。式を展開して

Pn(3) = ( 1 - p )Σk{1→n-1}( 2p3n-3-2k - 2p3n-3-k ) ≡ ( 1 - p )( S1 + S2 )

とすると、

S1 = 2p3n-5 + 2p3n-7 + ... + 2pn-1
p2S1 = 2p3n-3 + 2p3n-5 + ... + 2pn+1

で、辺々引いて

( 1 - p2 )S1 = 2pn-1 - 2p3n-3
S1 = 2pn-1( 1 - p2n-2 ) / ( 1 - p2 )

となります。また、

S2 = 2p3n-4 + 2p3n-5 + ... + 2p2n-2
pS2 = 2p3n-3 + 2p3n-4 + ... + 2p2n-1

で、辺々引いて

( 1 - p )S2 = 2p2n-2 - 2p3n-3
S2 = 2p2n-2( 1 - pn-1 ) / ( 1 - p )

なので、

Pn(3)
= 2pn-1( 1 - p2n-2 ) / ( 1 + p ) - 2p2n-2( 1 - pn-1 )
= 2pn-1[ ( 1 - p2n-2 ) - ( 1 + p )( pn-1 - p2n-2 ] / ( 1 + p )
= 2pn-1( 1 - p2n-2 - pn-1 + p2n-2 - pn + p2n-1 ) / ( 1 + p )
= 2pn-1[ ( 1 - pn-1 ) - pn( 1 - pn-1 ) ] / ( 1 + p )
= 2pn-1( 1 - pn )( 1 - pn-1 ) / ( 1 + p )

となります。  

Posted by fussy at 19:15Comments(0)TrackBack(0)数学

2017年02月19日

昭和横丁

昨日は、遅めの新年会ということで愛知県犬山市にある「昭和横丁」というところで飲んでいました。お店のマスターも気さくな方が多くてなかなかにくつろげる場所でした。料理も美味しかったです。

奥には舞台があって、ちょうど犬山春節祭というイベントをやってました。お客さんが結構多くて混雑してたのですが、何とか二階の席を確保。しかし舞台は全く見れませんでした。イベントが終わってから一階に降りて続けて飲み会。しかし 18 時までしか営業していないということで飲み屋に切り替えてさらに飲んでたらすっかり酔っ払って終電で帰宅しました。今日はさすがにしんどいです。  

Posted by fussy at 19:03Comments(0)TrackBack(0)

2017年02月12日

チョコレートの意外な効果?

アルゴリズムのコーナー」を更新しました。今年初の更新となります。

今回は「K-平均法」から始まって「混合ガウス分布」や「EM アルゴリズム」を紹介しています。まだ消化不足ぎみなところもありますが、とりあえず公開しておきます。次のテーマは「SOM」を考えています。

バレンタイン・デーに因んだ話ですが、チョコレートの消費量とノーベル賞受賞者数の間に相関関係があるというおもしろい調査結果があります。もし全国民がチョコを二倍消費すれば受賞者が二倍に増えるのならばお菓子メーカーにはぜひともアピールしてほしいものですね。因果関係があるのかどうかはわかりませんが。
  

Posted by fussy at 20:25Comments(0)TrackBack(0)

2017年02月05日

リアルな夢

先週、寝付きの悪い日にやけにリアルな夢を見ました。

新しい家に住むようになったのですが、なぜかそこが気に入らなくて、向かいにある中華なマンションに引っ越そうと決めたり、広い車道をたくさんの坊さんが車をギリギリに避けながら高速移動で渡っていたり、他にもいろいろとありましたが記憶にはっきりと残っています。普通は夢なんてすぐに忘れるものですが、こういうのは珍しいですね。そもそも、夢なんてめったに見ることがないので。リアルと言っても内容は支離滅裂で、それに何の意味があるのかはわかりませんが、その時の心理状態を暗示しているのかもしれません。

訓練によって夢をコントロールすることができるという内容の番組が昔ありました。そんなことが可能なら楽しいでしょうね。今回はイヤな夢ではありませんでしたが、怖い夢やイヤな夢は見たくないですから。  

Posted by fussy at 20:59Comments(0)TrackBack(0)