2016年05月29日
Xubuntu お試し中
Virtualbox 上に Xubuntu を入れてみました。
Emacs の設定等でちょっとだけ手間取りましたが、ほとんど何もせずに現環境と変わらない状態となりました。まだ少し修正したいところはありますが、いずれこちらに移行することになるのではと思います。現在は、Vine Linux と Xubuntu を両方立ち上げつつ、Windows7 上でも作業したり遊んでいたりといったかなり贅沢な状況です。
Vine Linux は日本語の利用が文句なしによかったので長い間使っていました。しかし、現在はその差もなくなっています。更新が早い分、できるだけ新しい環境を求めるのであれば Xubuntu の方がよいと感じました。でも、Vine Linux の抜群の安定感も捨てがたいんですよね。
ところでなぜ Ubuntu ではなく Xubuntu なのかというと、Ubuntu の環境にはなじめなかったからです。以前、一度だけ立ち上げてみたことがあるのですが、あまり好きにはなれませんでした。ちなみに今回、OpenSUSE も試した上で Xubuntu を選択しています。
* 以前、ノート PC に入れた Xubuntu は、Emacs の設定に手こずって結局利用していなかったので Win7 に戻しています。そのときはバージョンが古かったので、今なら再度入れてもいいかも。
Emacs の設定等でちょっとだけ手間取りましたが、ほとんど何もせずに現環境と変わらない状態となりました。まだ少し修正したいところはありますが、いずれこちらに移行することになるのではと思います。現在は、Vine Linux と Xubuntu を両方立ち上げつつ、Windows7 上でも作業したり遊んでいたりといったかなり贅沢な状況です。
Vine Linux は日本語の利用が文句なしによかったので長い間使っていました。しかし、現在はその差もなくなっています。更新が早い分、できるだけ新しい環境を求めるのであれば Xubuntu の方がよいと感じました。でも、Vine Linux の抜群の安定感も捨てがたいんですよね。
ところでなぜ Ubuntu ではなく Xubuntu なのかというと、Ubuntu の環境にはなじめなかったからです。以前、一度だけ立ち上げてみたことがあるのですが、あまり好きにはなれませんでした。ちなみに今回、OpenSUSE も試した上で Xubuntu を選択しています。
* 以前、ノート PC に入れた Xubuntu は、Emacs の設定に手こずって結局利用していなかったので Win7 に戻しています。そのときはバージョンが古かったので、今なら再度入れてもいいかも。
2016年05月28日
現在、湿度 60%
だんだんと湿度が上がってきて蒸し暑い日が続くようになりました。もうすぐ梅雨が始まりますね。
少し前ですが、「アルゴリズムのコーナー」を更新しました。今回も新規ではなく内容の見直しになります。
「算術符号化」
「EBCOTとMQ-Coder」
「EBCOTとMQ-Coder」はほぼ全てのサンプル・プログラムをページに載せたので、分量が多くなってしまいました。
次回は何にするか、少々悩んでます。新たなネタが一つあって現在まとめ中ですが、まだ理解不足のところが多々あり時間がかかりそうです。その間に過去の内容の見直しをするかもしれません。
さて、「数学問題bot」さんから拾った問題です。かなり悩みました ( 特に 2 番)。例によって合っている保証はありません。
-----
1) 3n = k3 + 1 をみたす正の整数の組 ( k, n ) を全て求めよ。
2) 3n = k2 - 40 をみたす正の整数の組 ( k, n ) を全て求めよ。( 10 千葉 )
1)
k3 + 1 = ( k + 1 )3 - 3k( k + 1 ) より
3n + 3k( k + 1 ) = ( k + 1 )3
を満たす ( k, n ) の組を見つければいいことになります。n > 0 より
3・[ 3n-1 + k( k + 1 ) ] = ( k + 1 )3
となるので k + 1 は 3 の倍数であり、k + 1 = 3m とすれば
3・[ 3n-1 + 3m( 3m - 1 ) ] = ( 3m )3 = 27m3
となり、両辺を 3 で割って
3n-1 + 3m( 3m - 1 ) = 9m3
となります。式を変形して
3n-1 = 3m・[ 3m2 - ( 3m - 1 ) ]
なので、右辺は 3 のみを素因数として持たねばなりません。
m = 1 のとき、(右辺) = 3 で、( k, n ) = ( 2, 2 ) が該当します。
m > 1 のとき、m は 3 のべき乗でなければなりませんが、そうすると
3m2 - ( 3m - 1 ) = 3m( m - 1 ) + 1
は 3 の倍数になりません。
従って、( k, n ) = ( 2, 2 ) のみが該当することになります。
2)
k2 = 3n + 40 として n = 1 の場合から実際に計算してみます。
まず、n が奇数の時に着目すると、k2 の下一桁めは 3 か 7 のいずれかになります。n = 1 のとき 3n = 3 であり、40 を加えても下一桁は変わりません。n = 3 では 9 を掛けることになり 3n = 27 ≡ 7 ( mod 10 ) です。n = 5 ではまた 9 を掛けることになるので 3n = 243 ≡ 3 ( mod 10 ) で、以下 3 と 7 を繰り返すことになります。ところで、二乗数の下一桁は、計算すればすぐわかるように 1, 4, 5, 6, 9 のいずれかしか現れません。従って、n が奇数のときは二乗数になり得ないことになります。
n が偶数のとき、n = 4 までは k が得られていますが、それ以降は新たな k は見つかっていません。n が偶数ならば、3n は必ず二乗数になります。例えば n = 6 のとき、3n = 272 であり、これにある数を加えて二乗数にしたいとき、次の数は 282 なので、その差は
282 - 272 = ( 28 + 27 )( 28 - 27 ) = 55 > 40
となります。従って、40 を加えても二乗数にすることができません。n = 6 以降の全てに対してそうなので、これ以上は見つからないことを意味します。
よって、得られる組は ( k, n ) = ( 7, 2 ), ( 11, 4 ) の二つです。
少し前ですが、「アルゴリズムのコーナー」を更新しました。今回も新規ではなく内容の見直しになります。
「算術符号化」
「EBCOTとMQ-Coder」
「EBCOTとMQ-Coder」はほぼ全てのサンプル・プログラムをページに載せたので、分量が多くなってしまいました。
次回は何にするか、少々悩んでます。新たなネタが一つあって現在まとめ中ですが、まだ理解不足のところが多々あり時間がかかりそうです。その間に過去の内容の見直しをするかもしれません。
さて、「数学問題bot」さんから拾った問題です。かなり悩みました ( 特に 2 番)。例によって合っている保証はありません。
-----
1) 3n = k3 + 1 をみたす正の整数の組 ( k, n ) を全て求めよ。
2) 3n = k2 - 40 をみたす正の整数の組 ( k, n ) を全て求めよ。( 10 千葉 )
1)
k3 + 1 = ( k + 1 )3 - 3k( k + 1 ) より
3n + 3k( k + 1 ) = ( k + 1 )3
を満たす ( k, n ) の組を見つければいいことになります。n > 0 より
3・[ 3n-1 + k( k + 1 ) ] = ( k + 1 )3
となるので k + 1 は 3 の倍数であり、k + 1 = 3m とすれば
3・[ 3n-1 + 3m( 3m - 1 ) ] = ( 3m )3 = 27m3
となり、両辺を 3 で割って
3n-1 + 3m( 3m - 1 ) = 9m3
となります。式を変形して
3n-1 = 3m・[ 3m2 - ( 3m - 1 ) ]
なので、右辺は 3 のみを素因数として持たねばなりません。
m = 1 のとき、(右辺) = 3 で、( k, n ) = ( 2, 2 ) が該当します。
m > 1 のとき、m は 3 のべき乗でなければなりませんが、そうすると
3m2 - ( 3m - 1 ) = 3m( m - 1 ) + 1
は 3 の倍数になりません。
従って、( k, n ) = ( 2, 2 ) のみが該当することになります。
2)
k2 = 3n + 40 として n = 1 の場合から実際に計算してみます。
| n | k2 | k |
|---|---|---|
| 1 | 43 | - |
| 2 | 49 | 7 |
| 3 | 67 | - |
| 4 | 121 | 11 |
| 5 | 283 | - |
| 6 | 769 | - |
| 7 | 2227 | - |
| 8 | 6601 | - |
まず、n が奇数の時に着目すると、k2 の下一桁めは 3 か 7 のいずれかになります。n = 1 のとき 3n = 3 であり、40 を加えても下一桁は変わりません。n = 3 では 9 を掛けることになり 3n = 27 ≡ 7 ( mod 10 ) です。n = 5 ではまた 9 を掛けることになるので 3n = 243 ≡ 3 ( mod 10 ) で、以下 3 と 7 を繰り返すことになります。ところで、二乗数の下一桁は、計算すればすぐわかるように 1, 4, 5, 6, 9 のいずれかしか現れません。従って、n が奇数のときは二乗数になり得ないことになります。
n が偶数のとき、n = 4 までは k が得られていますが、それ以降は新たな k は見つかっていません。n が偶数ならば、3n は必ず二乗数になります。例えば n = 6 のとき、3n = 272 であり、これにある数を加えて二乗数にしたいとき、次の数は 282 なので、その差は
282 - 272 = ( 28 + 27 )( 28 - 27 ) = 55 > 40
となります。従って、40 を加えても二乗数にすることができません。n = 6 以降の全てに対してそうなので、これ以上は見つからないことを意味します。
よって、得られる組は ( k, n ) = ( 7, 2 ), ( 11, 4 ) の二つです。
2016年05月22日
バラまつり
アイドル刺傷事件、ひどい話ですね。とにかく助かることを祈ってます。
昨日は「庄内緑地公園」のバラまつりへ行ってまいりました。
あまりゆっくり見る時間はありませんでしたが、何枚か写真を撮影したのでアップしておきます。バラの香り、それほど好きな方ではないと思ってましたが、あれだけのバラの香りにはかなり癒やされます。
バラ園の入り口。
「ミュージック」という名前のバラ。こんな種類があるとは知りませんでした。
確か「マリア・カラス」という種類だったと思います。花一つだけ接写したものです。
それにしても急激に暑くなってきましたね。
昨日は「庄内緑地公園」のバラまつりへ行ってまいりました。
あまりゆっくり見る時間はありませんでしたが、何枚か写真を撮影したのでアップしておきます。バラの香り、それほど好きな方ではないと思ってましたが、あれだけのバラの香りにはかなり癒やされます。
バラ園の入り口。
「ミュージック」という名前のバラ。こんな種類があるとは知りませんでした。
確か「マリア・カラス」という種類だったと思います。花一つだけ接写したものです。
それにしても急激に暑くなってきましたね。
2016年05月15日
「デトロイト美術館」展
「デトロイト美術館展」を見るために、豊田市美術館まで行ってきました。
名鉄豊田市駅から歩くこと 10 分程度。猛烈に急な坂をかなり登った先に美術館がありました。
入口前で撮影
美術館内は一部の絵を除いて撮影 OK ということで、三枚並んだルノアールの絵を撮影しようとしたらフラッシュを OFF にしておくのをすっかり忘れて思いっきり焚いてしまい注意されました。恥ずかしい。
やっぱり印象派の頃の絵が一番好きです。後半はマティスやピカソなどの絵が並び、イマイチよさが理解できませんでした。お客さんはわりと多かったような気がしますが、それよりもみんなスマホやデジカメで撮影するので結構気を使いながら見なければならず、撮影が終わるまで待つこともしばしばありました。でも、撮影 OK というのは珍しいですよね。今までそういうのはありませんでした (「フェルメール 光の王国展」では撮影 OK でしたが、あれは本物ではないですからねえ)。
美術館の外に出た後で、自分が裏口から入ったことに気が付きました。結構広い庭があって、外でものんびりと過ごすことができます。
あまり外は散歩できませんでしたが、今度来たときはもう少しゆっくりと見て回りたいと思います。
名鉄豊田市駅から歩くこと 10 分程度。猛烈に急な坂をかなり登った先に美術館がありました。
入口前で撮影
美術館内は一部の絵を除いて撮影 OK ということで、三枚並んだルノアールの絵を撮影しようとしたらフラッシュを OFF にしておくのをすっかり忘れて思いっきり焚いてしまい注意されました。恥ずかしい。
やっぱり印象派の頃の絵が一番好きです。後半はマティスやピカソなどの絵が並び、イマイチよさが理解できませんでした。お客さんはわりと多かったような気がしますが、それよりもみんなスマホやデジカメで撮影するので結構気を使いながら見なければならず、撮影が終わるまで待つこともしばしばありました。でも、撮影 OK というのは珍しいですよね。今までそういうのはありませんでした (「フェルメール 光の王国展」では撮影 OK でしたが、あれは本物ではないですからねえ)。
美術館の外に出た後で、自分が裏口から入ったことに気が付きました。結構広い庭があって、外でものんびりと過ごすことができます。
あまり外は散歩できませんでしたが、今度来たときはもう少しゆっくりと見て回りたいと思います。
2016年05月13日
13日の金曜日
今日は「13日の金曜日」です。
イエスが磔刑にされたのが云々というのはウソのようで、はっきりしたことはわかってないみたいですね。中世の頃から始まった迷信だそうですが、日本ではやはりあの映画から有名になったのではないでしょうか。一作目は面白かったと思います。二作目以降も見たような気もしますがほとんど覚えてません。ジェイソンが首吊り状態になっても自力でほどいてしまうシーンを覚えているんですけど、あれは何作目だったんでしょうかね。
今回は「マテマティカ 2」さんから拾った問題です。かなり苦戦した上に、合っているかどうか自信は全くありません。せっかく解いたので載せておきます。
-----
二次正方行列 A, B が次の二条件を満たしている。
(i) A - B = AB
(ii) ( A + B )n = 0 となる正の整数 n が存在する
このとき、B を A と E の一次式で表わせ。
まず、次の命題を証明します。
二次行列 A が逆行列を持たないとき、An = [ tr(A) ]n-1A
但し、tr(A) は A の対角成分の和とする。
とします。このとき、
となりますが、A が逆行列を持たないとき ad - bc = 0 なので、ad = bc より
となります。
An = (a+d)n-1A が成り立つと仮定します。このとき
= (a+d)nA
なので、帰納法により命題が証明されました。
An = 0 のとき、A が逆行列を持てばそれを n - 1 回掛けることで A = 0 となり、0 は逆行列を持たないので矛盾します。従って、A ≠ 0 のとき、An = 0 が成り立つならば、A は逆行列を持ちません。このとき、An = (a+d)n-1A = 0 が成り立つので、a + d = 0 かつ |A| = 0 であることになります。A2 = (a+d)A なので、An = 0 となる n が存在するならばその最小値は 1 か 2 のいずれかであることになります ( n = 1 ならば A = 0 です )。
( A + B )n = 0 が成り立つとき、
とすれば
a + e + d + h = 0 --- (1)
| A + B | = ( a + e )( d + h ) - ( b + f )( c + g ) = 0 --- (2)
が成り立ちます。B = pA + qE ( 但し p ≠ 0 ) とすると、
なので、(1) より
a + ( pa + q ) + d + ( pd + q ) = ( p + 1 )( a + d ) + 2q = 0 --- (1')
であり、(2) より
[ a + ( pa + q ) ][ d + ( pd + q ) ] - ( b + pb )( c + pc )
= [ ( p + 1 )a + q ][ ( p + 1 )d + q ] - ( p + 1 )2bc
= ( p + 1 )2( ad - bc ) + q( p + 1 )( a + d ) + q2 = 0 --- (2')
になります。
(1') を (2') に代入して整理すると、
( p + 1 )2|A| = q2 --- (3)
となります。次に、
A - B = ( 1 - p )A - qE
AB = pA2 + qA
なので、A - B = AB ならば
( 1 - p )A - qE = pA2 + qA
となります。これを整理すると
A2 - [ ( 1 - p - q ) / p ]A + ( q / p )E = 0
となりますが、ケーリー・ハミルトンの公式から
( 1 - p - q ) / p = a + d --- (4)
q / p = |A| --- (5)
が成り立つ必要があります。従って、(3),(5) から
q2 / ( p + 1 )2 = q / p ( 但し p ≠ -1 とする ) より
q = ( p + 1 )2 / p --- (6)
となり、(5) に代入して
|A| = [ ( p + 1 ) / p ]2 --- (7)
(4) に代入して
{ 1 - p - [ ( p + 1 )2 / p ] } / p
= [ p - p2 - ( p2 + 2p + 1 ) ] / p2
= -( 2p2 + p + 1 ) / p2 = a + d --- (8)
となります。(7)(8) を満たす p が存在するとき、(6) によって q が決定し、B の一次式も決まります。
p = -1 のとき、(3) より q = 0 なので (6) を満たします。B = -A より A + B = 0 であり、A - B = 2A、AB = -A2 なので、
A2 + 2A = 0
より |A| = 0、a + d = -2 で、これらも (7)(8) を満たし、特別扱いする必要はなくなります。
最後に、p = 0 のときは B = qE より A - B = A - qE、AB = qA なので、
( 1 - q )A = qE
となり、これが成り立つのは A = [ q / ( 1 - q ) ]E ( q ≠ 1 ) のときに限ります。r = q / ( 1 - q ) とすれば q = r / ( 1 + r ) なので、
B = [ r / ( 1 + r ) ]E 但し A = rE
となります。
B の一次式を書くと、
B = pA + [ ( p + 1 )2 / p ]E
但し、|A| = [ ( p + 1 ) / p ]2 かつ a + d = -( 2p2 + p + 1 ) / p2
となります。例えば p = 1 のとき、B = A + 4E となります。また、|A| = 4、a + d = -4 です。これを満たす A として
があります。このとき、
となり、
より ( A + B )2 = 0 となります。
イエスが磔刑にされたのが云々というのはウソのようで、はっきりしたことはわかってないみたいですね。中世の頃から始まった迷信だそうですが、日本ではやはりあの映画から有名になったのではないでしょうか。一作目は面白かったと思います。二作目以降も見たような気もしますがほとんど覚えてません。ジェイソンが首吊り状態になっても自力でほどいてしまうシーンを覚えているんですけど、あれは何作目だったんでしょうかね。
今回は「マテマティカ 2」さんから拾った問題です。かなり苦戦した上に、合っているかどうか自信は全くありません。せっかく解いたので載せておきます。
-----
二次正方行列 A, B が次の二条件を満たしている。
(i) A - B = AB
(ii) ( A + B )n = 0 となる正の整数 n が存在する
このとき、B を A と E の一次式で表わせ。
まず、次の命題を証明します。
二次行列 A が逆行列を持たないとき、An = [ tr(A) ]n-1A
但し、tr(A) は A の対角成分の和とする。
| A = | | | a | c | | |
| | | b | d | | |
とします。このとき、
| A2 = | | | a | c | || | a | c | | | = | | | a2+bc | ac+cd | | |
| | | b | d | || | b | d | | | | | ab+bd | bc+d2 | | |
となりますが、A が逆行列を持たないとき ad - bc = 0 なので、ad = bc より
| A2 = | | | a2+ad | c(a+d) | | | = | | | a(a+d) | c(a+d) | | | =(a+d)A |
| | | b(a+d) | ad+d2 | | | | | c(a+d) | d(a+d) | | |
となります。
An = (a+d)n-1A が成り立つと仮定します。このとき
| An+1 | = | | | a(a+d)n-1 | c(a+d)n-1 | || | a | c | | |
| | | b(a+d)n-1 | d(a+d)n-1 | || | b | d | | | ||
| = | | | (a2+bc)(a+d)n-1 | (ac+cd)(a+d)n-1 | | |
| | | (ab+bd)(a+d)n-1 | (bc+d2)(a+d)n-1 | | |
| = | | | a(a+d)(a+d)n-1 | c(a+d)(a+d)n-1 | | |
| | | b(a+d)(a+d)n-1 | d(a+d)(a+d)n-1 | | |
= (a+d)nA
なので、帰納法により命題が証明されました。
An = 0 のとき、A が逆行列を持てばそれを n - 1 回掛けることで A = 0 となり、0 は逆行列を持たないので矛盾します。従って、A ≠ 0 のとき、An = 0 が成り立つならば、A は逆行列を持ちません。このとき、An = (a+d)n-1A = 0 が成り立つので、a + d = 0 かつ |A| = 0 であることになります。A2 = (a+d)A なので、An = 0 となる n が存在するならばその最小値は 1 か 2 のいずれかであることになります ( n = 1 ならば A = 0 です )。
( A + B )n = 0 が成り立つとき、
| B = | | | e | g | | |
| | | f | h | | |
とすれば
a + e + d + h = 0 --- (1)
| A + B | = ( a + e )( d + h ) - ( b + f )( c + g ) = 0 --- (2)
が成り立ちます。B = pA + qE ( 但し p ≠ 0 ) とすると、
| B = | | | pa+q | pc | | |
| | | pb | pd+q | | |
なので、(1) より
a + ( pa + q ) + d + ( pd + q ) = ( p + 1 )( a + d ) + 2q = 0 --- (1')
であり、(2) より
[ a + ( pa + q ) ][ d + ( pd + q ) ] - ( b + pb )( c + pc )
= [ ( p + 1 )a + q ][ ( p + 1 )d + q ] - ( p + 1 )2bc
= ( p + 1 )2( ad - bc ) + q( p + 1 )( a + d ) + q2 = 0 --- (2')
になります。
(1') を (2') に代入して整理すると、
( p + 1 )2|A| = q2 --- (3)
となります。次に、
A - B = ( 1 - p )A - qE
AB = pA2 + qA
なので、A - B = AB ならば
( 1 - p )A - qE = pA2 + qA
となります。これを整理すると
A2 - [ ( 1 - p - q ) / p ]A + ( q / p )E = 0
となりますが、ケーリー・ハミルトンの公式から
( 1 - p - q ) / p = a + d --- (4)
q / p = |A| --- (5)
が成り立つ必要があります。従って、(3),(5) から
q2 / ( p + 1 )2 = q / p ( 但し p ≠ -1 とする ) より
q = ( p + 1 )2 / p --- (6)
となり、(5) に代入して
|A| = [ ( p + 1 ) / p ]2 --- (7)
(4) に代入して
{ 1 - p - [ ( p + 1 )2 / p ] } / p
= [ p - p2 - ( p2 + 2p + 1 ) ] / p2
= -( 2p2 + p + 1 ) / p2 = a + d --- (8)
となります。(7)(8) を満たす p が存在するとき、(6) によって q が決定し、B の一次式も決まります。
p = -1 のとき、(3) より q = 0 なので (6) を満たします。B = -A より A + B = 0 であり、A - B = 2A、AB = -A2 なので、
A2 + 2A = 0
より |A| = 0、a + d = -2 で、これらも (7)(8) を満たし、特別扱いする必要はなくなります。
最後に、p = 0 のときは B = qE より A - B = A - qE、AB = qA なので、
( 1 - q )A = qE
となり、これが成り立つのは A = [ q / ( 1 - q ) ]E ( q ≠ 1 ) のときに限ります。r = q / ( 1 - q ) とすれば q = r / ( 1 + r ) なので、
B = [ r / ( 1 + r ) ]E 但し A = rE
となります。
B の一次式を書くと、
B = pA + [ ( p + 1 )2 / p ]E
但し、|A| = [ ( p + 1 ) / p ]2 かつ a + d = -( 2p2 + p + 1 ) / p2
となります。例えば p = 1 のとき、B = A + 4E となります。また、|A| = 4、a + d = -4 です。これを満たす A として
| A = | | | -1 | -1 | | |
| | | 1 | -3 | | |
があります。このとき、
| B = A + 4E = | | | 3 | -1 | | |
| | | 1 | 1 | | |
| A - B = | | | -4 | 0 | | |
| | | 0 | -4 | | |
| AB = | | | -4 | 0 | | |
| | | 0 | -4 | | |
となり、
| A + B = | | | 2 | -2 | | |
| | | 2 | -2 | | |
より ( A + B )2 = 0 となります。
2016年05月09日
いつの間にか夏
いつの間にか「立夏」を過ぎていたんですね。すでに蒸し暑い状態が続いているように思います。
「数学問題bot」から二年前に拾った問題です。合ってるかどうか、あまり自信はありません。
-----
n個の1の間すべてに四則演算のいずれかの記号を書いて式を作る（カッコは使用不可）とき、答えが１になるものは何通りあるか。例：n=2なら1×1と1÷1の２通り (DrGojiMoriCun様)。
×と÷は値を変化させないので、どのように並んでいても必ず 1 になります。よって、計算結果が 1 になるかどうかは + と - の数だけで決まり、その数がゼロも含めて等しい場合だけ 1 になります。
n 個の 1 の間には n - 1 個の演算子が入れられるので、その中に + と - を並べる場合の数を、全ての×と÷の並べ方に対して求めれば目的の数が得られます。
+ と - を等しい数だけ並べる場合、その数はゼロから ( n - 1 ) / 2 ( n が奇数のとき ) または ( n - 2 ) / 2 ( n が偶数のとき ) となります。ゼロ個の場合から順番に考えてみます。
+, - がゼロ個なら、×,÷は n - 1 箇所に任意に入れられるので、2n-1 通りの並べ方があります。
+, - が 1 個ずつなら、n - 1 箇所の中に + は n - 1 通りの入れ方があり、それぞれに対して - は n - 2 通りの入れ方があるので、( n - 1 )( n - 2 ) 通りの並べ方があります。残りの n - 3 箇所に×,÷は任意に入れられるので、それぞれに対しさらに 2n-3 通りの並べ方があります。よって、2n-3( n - 1 )( n - 2 ) 通りの入れ方があることになります。
一般化して +, - が k 個ずつなら、n - 1 箇所の中に + は n-1Ck 通りの入れ方があり、それぞれに対して - は残り n - k - 1 箇所に n-k-1Ck 通りの入れ方があるので、n-1Ck・n-k-1Ck 通りの並べ方があります。残りの n - 2k - 1 箇所に×,÷は任意に入れられるので、それぞれに対しさらに 2n-2k-1 通りの並べ方があり、2n-2k-1n-1Ck・n-k-1Ck 通りの入れ方があることになります。
これが 0 から ( n - 1 ) / 2 ( n が奇数のとき ) または ( n - 2 ) / 2 ( n が偶数のとき ) まであるので、
Σk{0→(n-1)/2}( 2n-2k-1n-1Ck・n-k-1Ck ) ( n が奇数のとき )
Σk{0→(n-2)/2}( 2n-2k-1n-1Ck・n-k-1Ck ) ( n が偶数のとき )
が求める解となります。n = 2 のときは、
Σk{0→0}( 22-2k-11Ck・1-kCk ) = 2
で、n = 3 のときは
Σk{0→1}( 22-2k2Ck・2-kCk )
= 222C0・2C0 + 202C1・1C1
= 4 + 2 = 6
で、1×1×1, 1×1÷1, 1÷1×1, 1÷1÷1, 1+1-1, 1-1+1 が該当します。さらに n = 4 なら
Σk{0→1}( 23-2k3Ck・3-kCk )
= 233C0・3C0 + 213C1・2C1
= 8 + 12 = 20
で、
1×1×1×1, 1×1×1÷1, 1×1÷1×1, 1÷1×1×1, 1×1÷1÷1, 1÷1×1÷1, 1÷1÷1×1, 1÷1÷1÷1,
1×1+1-1, 1×1-1+1, 1÷1+1-1, 1÷1-1+1, 1+1×1-1, 1-1×1+1, 1+1÷1-1, 1-1÷1+1,
1+1-1×1, 1-1+1×1, 1+1-1÷1, 1-1+1÷1
が該当します。
「数学問題bot」から二年前に拾った問題です。合ってるかどうか、あまり自信はありません。
-----
n個の1の間すべてに四則演算のいずれかの記号を書いて式を作る（カッコは使用不可）とき、答えが１になるものは何通りあるか。例：n=2なら1×1と1÷1の２通り (DrGojiMoriCun様)。
×と÷は値を変化させないので、どのように並んでいても必ず 1 になります。よって、計算結果が 1 になるかどうかは + と - の数だけで決まり、その数がゼロも含めて等しい場合だけ 1 になります。
n 個の 1 の間には n - 1 個の演算子が入れられるので、その中に + と - を並べる場合の数を、全ての×と÷の並べ方に対して求めれば目的の数が得られます。
+ と - を等しい数だけ並べる場合、その数はゼロから ( n - 1 ) / 2 ( n が奇数のとき ) または ( n - 2 ) / 2 ( n が偶数のとき ) となります。ゼロ個の場合から順番に考えてみます。
+, - がゼロ個なら、×,÷は n - 1 箇所に任意に入れられるので、2n-1 通りの並べ方があります。
+, - が 1 個ずつなら、n - 1 箇所の中に + は n - 1 通りの入れ方があり、それぞれに対して - は n - 2 通りの入れ方があるので、( n - 1 )( n - 2 ) 通りの並べ方があります。残りの n - 3 箇所に×,÷は任意に入れられるので、それぞれに対しさらに 2n-3 通りの並べ方があります。よって、2n-3( n - 1 )( n - 2 ) 通りの入れ方があることになります。
一般化して +, - が k 個ずつなら、n - 1 箇所の中に + は n-1Ck 通りの入れ方があり、それぞれに対して - は残り n - k - 1 箇所に n-k-1Ck 通りの入れ方があるので、n-1Ck・n-k-1Ck 通りの並べ方があります。残りの n - 2k - 1 箇所に×,÷は任意に入れられるので、それぞれに対しさらに 2n-2k-1 通りの並べ方があり、2n-2k-1n-1Ck・n-k-1Ck 通りの入れ方があることになります。
これが 0 から ( n - 1 ) / 2 ( n が奇数のとき ) または ( n - 2 ) / 2 ( n が偶数のとき ) まであるので、
Σk{0→(n-1)/2}( 2n-2k-1n-1Ck・n-k-1Ck ) ( n が奇数のとき )
Σk{0→(n-2)/2}( 2n-2k-1n-1Ck・n-k-1Ck ) ( n が偶数のとき )
が求める解となります。n = 2 のときは、
Σk{0→0}( 22-2k-11Ck・1-kCk ) = 2
で、n = 3 のときは
Σk{0→1}( 22-2k2Ck・2-kCk )
= 222C0・2C0 + 202C1・1C1
= 4 + 2 = 6
で、1×1×1, 1×1÷1, 1÷1×1, 1÷1÷1, 1+1-1, 1-1+1 が該当します。さらに n = 4 なら
Σk{0→1}( 23-2k3Ck・3-kCk )
= 233C0・3C0 + 213C1・2C1
= 8 + 12 = 20
で、
1×1×1×1, 1×1×1÷1, 1×1÷1×1, 1÷1×1×1, 1×1÷1÷1, 1÷1×1÷1, 1÷1÷1×1, 1÷1÷1÷1,
1×1+1-1, 1×1-1+1, 1÷1+1-1, 1÷1-1+1, 1+1×1-1, 1-1×1+1, 1+1÷1-1, 1-1÷1+1,
1+1-1×1, 1-1+1×1, 1+1-1÷1, 1-1+1÷1
が該当します。
2016年05月05日
こどもの日
今日はこどもの日。もう "こども" ではないですが、小さい頃からあるカブトを飾ってみたので写真を撮っておきました。
あまり飾った記憶がなく、外に出したのはかなり久しぶりになるんじゃないでしょうか。ちなみに、箱にしまう時にコンパクトになるように、ツノの部分は外せるようになってます。なんと組み立て式のカブト。
赤ん坊のときならかぶることもできるんでしょうけど、さすがに今は無理。実際に小さいころにかぶらされたのかどうかは定かではありません。
そういえば最近、鯉のぼりをあまり見なくなったような気がします。子供の頃はあちらこちらで飾ってあったように記憶してるんですけど、そういう風習自体が少なくなったのか、今日の住宅事情が原因なのか、特に大きな鯉のぼりは全く見ませんねえ。
「確率・統計」用のサンプル・プログラムをライブラリ化したソースを更新しました。「アルゴリズムのコーナー」からダウンロードできます。今回、一般化線形モデルの「生存時間解析」までを新たに追加しています (その過程で致命的なバグを見つけてこの間あわてて修正したわけですが)。
あまり飾った記憶がなく、外に出したのはかなり久しぶりになるんじゃないでしょうか。ちなみに、箱にしまう時にコンパクトになるように、ツノの部分は外せるようになってます。なんと組み立て式のカブト。
赤ん坊のときならかぶることもできるんでしょうけど、さすがに今は無理。実際に小さいころにかぶらされたのかどうかは定かではありません。
そういえば最近、鯉のぼりをあまり見なくなったような気がします。子供の頃はあちらこちらで飾ってあったように記憶してるんですけど、そういう風習自体が少なくなったのか、今日の住宅事情が原因なのか、特に大きな鯉のぼりは全く見ませんねえ。
「確率・統計」用のサンプル・プログラムをライブラリ化したソースを更新しました。「アルゴリズムのコーナー」からダウンロードできます。今回、一般化線形モデルの「生存時間解析」までを新たに追加しています (その過程で致命的なバグを見つけてこの間あわてて修正したわけですが)。
2016年05月03日
間違ったまま二年間
せっかくの連休ということで午前中だけ外出してましたが風が強烈に吹きまくって大変でした。
昼は空模様が怪しくなって家に戻ってきましたが結局夜まで雨が降ることはなく、しかし風が午前中よりひどくなって窓を開けているとうなりをあげて風が入ってくるし、かと言って閉めきると暑くなるしで困ったものです。
統計解析用のソースを更新していたら「順序ロジスティック」のサンプル・プログラムに初歩的なミスが見つかりました。サンプルデータでテストもしていたのに、しかもよく見れば簡単に気付きそうなのにスルーしていたのは疲れていたからでしょうか。修正して更新をしておきました。
しかし今見るとプログラムの作りもかなり強引で、やっぱり疲れていたんでしょうね、その時の私は。更新日を確認したらちょうど二年前の今日でした。たぶん、連休中に一気に方をつけようとしてたんでしょうか (すでに記憶がないです)。
昼は空模様が怪しくなって家に戻ってきましたが結局夜まで雨が降ることはなく、しかし風が午前中よりひどくなって窓を開けているとうなりをあげて風が入ってくるし、かと言って閉めきると暑くなるしで困ったものです。
統計解析用のソースを更新していたら「順序ロジスティック」のサンプル・プログラムに初歩的なミスが見つかりました。サンプルデータでテストもしていたのに、しかもよく見れば簡単に気付きそうなのにスルーしていたのは疲れていたからでしょうか。修正して更新をしておきました。
しかし今見るとプログラムの作りもかなり強引で、やっぱり疲れていたんでしょうね、その時の私は。更新日を確認したらちょうど二年前の今日でした。たぶん、連休中に一気に方をつけようとしてたんでしょうか (すでに記憶がないです)。
2016年05月02日
頭の体操
連休に入り、急激に暑くなってきました。明日は少し気温が下がるようですが、今度は雨になるみたいですね。
午後の空いた時間で頭の体操。「数学問題bot」さんから拾った問題です。合っている保証はありません。
-----
空間内に四面体 ABCD を考える。このとき、4 つの頂点 A, B, C, D を同時に通る球面が存在することを示せ ( 11 京大・理 )
四面体 ABCD に対して座標軸は任意に決められるので、頂点 A を原点とし、B( 2a, 0, 0 )、C( 2b, 2c, 0 )、D( 2d, 2e, 2f ) とします。
この時、辺 AB は x 軸上に、三角形 ABC は xy 平面上にあります。また、明らかに c ≠ 0、f ≠ 0 になります。
四面体の内点 P( xc, yc, zc ) に対し、|AP| = |BP| = |CP| = |DP| = ( xc2 + yc2 + zc2 )1/2 が成り立てば、P は求める球面の中心ということになるので、P が存在することを示せば十分です。三角形 PAB, PAC, PAD はそれぞれ二等辺三角形となるので、P は辺 AB, AC, AD の中点を通り各辺に垂直な平面の交点となります。平面の方程式は、
a( x - a ) = 0
b( x - b ) + c( y - c ) = 0
d( x - d ) + e( y - e ) + f( z - f ) = 0
となるので、
xc = a
yc = c - b( a - b ) / c
zc = f - d( a - d ) / f - e( yc - e ) / f
となります。この式を元に、|BP|2, |CP|2, |DP|2 を求めると、
|BP|2
= ( 2a - a )2 + ( 0 - yc )2 + ( 0 - zc )2
= a2 + yc2 + zc2
= xc2 + yc2 + zc2
|CP|2
= ( 2b - a )2 + { 2c - [ c - b( a - b ) / c ] }2 + ( 0 - zc )2
= a2 - 4ab + 4b2 + [ c - b( a - b ) / c ]2 - 4c[ c - b( a - b ) / c ] +4c2 + zc2
= xc2 + yc2 + zc2 - 4ab + 4b2 - 4c2 + 4ab - 4b2 +4c2
= xc2 + yc2 + zc2
|DP|2
= ( 2d - a )2 + ( 2e - yc )2 + { 2f - [ f - d( a - d ) / f - e( yc - e ) / f ] }2
= ( 2d - a )2 + ( 2e - yc )2 + { f + d( a - d ) / f + e( yc - e ) / f ] }2
= a2 - 4ad + 4d2 + yc2 - 4e・yc + 4e2 + [ f - d( a - d ) / f - e( yc - e ) / f ]2 +4[ d( a - d ) + e( yc - e ) ]
= xc2 + yc2 + zc2 - 4ad + 4d2 - 4e・yc + 4e2 +4ad - 4d2 + 4e・yc - 4e2
= xc2 + yc2 + zc2
となるので、|AP| = |BP| = |CP| = |DP| が成り立ち、命題が証明されました。
午後の空いた時間で頭の体操。「数学問題bot」さんから拾った問題です。合っている保証はありません。
-----
空間内に四面体 ABCD を考える。このとき、4 つの頂点 A, B, C, D を同時に通る球面が存在することを示せ ( 11 京大・理 )
四面体 ABCD に対して座標軸は任意に決められるので、頂点 A を原点とし、B( 2a, 0, 0 )、C( 2b, 2c, 0 )、D( 2d, 2e, 2f ) とします。
この時、辺 AB は x 軸上に、三角形 ABC は xy 平面上にあります。また、明らかに c ≠ 0、f ≠ 0 になります。
四面体の内点 P( xc, yc, zc ) に対し、|AP| = |BP| = |CP| = |DP| = ( xc2 + yc2 + zc2 )1/2 が成り立てば、P は求める球面の中心ということになるので、P が存在することを示せば十分です。三角形 PAB, PAC, PAD はそれぞれ二等辺三角形となるので、P は辺 AB, AC, AD の中点を通り各辺に垂直な平面の交点となります。平面の方程式は、
a( x - a ) = 0
b( x - b ) + c( y - c ) = 0
d( x - d ) + e( y - e ) + f( z - f ) = 0
となるので、
xc = a
yc = c - b( a - b ) / c
zc = f - d( a - d ) / f - e( yc - e ) / f
となります。この式を元に、|BP|2, |CP|2, |DP|2 を求めると、
|BP|2
= ( 2a - a )2 + ( 0 - yc )2 + ( 0 - zc )2
= a2 + yc2 + zc2
= xc2 + yc2 + zc2
|CP|2
= ( 2b - a )2 + { 2c - [ c - b( a - b ) / c ] }2 + ( 0 - zc )2
= a2 - 4ab + 4b2 + [ c - b( a - b ) / c ]2 - 4c[ c - b( a - b ) / c ] +4c2 + zc2
= xc2 + yc2 + zc2 - 4ab + 4b2 - 4c2 + 4ab - 4b2 +4c2
= xc2 + yc2 + zc2
|DP|2
= ( 2d - a )2 + ( 2e - yc )2 + { 2f - [ f - d( a - d ) / f - e( yc - e ) / f ] }2
= ( 2d - a )2 + ( 2e - yc )2 + { f + d( a - d ) / f + e( yc - e ) / f ] }2
= a2 - 4ad + 4d2 + yc2 - 4e・yc + 4e2 + [ f - d( a - d ) / f - e( yc - e ) / f ]2 +4[ d( a - d ) + e( yc - e ) ]
= xc2 + yc2 + zc2 - 4ad + 4d2 - 4e・yc + 4e2 +4ad - 4d2 + 4e・yc - 4e2
= xc2 + yc2 + zc2
となるので、|AP| = |BP| = |CP| = |DP| が成り立ち、命題が証明されました。
2016年05月01日
ロトンダ
昨日は、岐阜県の柳ケ瀬通にある多国籍料理の店「ロトンダ」で飲んでいました。
いろいろと珍しい料理やドリンクがあって、イスラエルのワインというのを初めて飲みました。旧約聖書に登場するぶどう園で栽培されたぶどうを使ったワインということでなんだか歴史を感じさせます。渋味がなくて素朴な味といえばいいんでしょうか。味を語れるほどの舌は持ってませんが、とにかくおいしかったです。
連休中ということでほとんど貸し切り状態となってしまい、ちょっとしたライブを行うことになっていたのですが知り合い以外のお客さんは一名のみという状況でした。ライブは一応したものの出来はひどいもので、そのお客さんには何だか悪いことをした気がします。リハどころか音合せもできなかったというのが少々まずかった気が。
お店については、珍しい料理を食べてみたいという方にはオススメです (昆虫とかの類ではないですからね。世界各地の料理が楽しめるお店です)。本当に美味しい料理ばかりですよ。
いろいろと珍しい料理やドリンクがあって、イスラエルのワインというのを初めて飲みました。旧約聖書に登場するぶどう園で栽培されたぶどうを使ったワインということでなんだか歴史を感じさせます。渋味がなくて素朴な味といえばいいんでしょうか。味を語れるほどの舌は持ってませんが、とにかくおいしかったです。
連休中ということでほとんど貸し切り状態となってしまい、ちょっとしたライブを行うことになっていたのですが知り合い以外のお客さんは一名のみという状況でした。ライブは一応したものの出来はひどいもので、そのお客さんには何だか悪いことをした気がします。リハどころか音合せもできなかったというのが少々まずかった気が。
お店については、珍しい料理を食べてみたいという方にはオススメです (昆虫とかの類ではないですからね。世界各地の料理が楽しめるお店です)。本当に美味しい料理ばかりですよ。
