Fussy's Diary

連休に入り、急激に暑くなってきました。明日は少し気温が下がるようですが、今度は雨になるみたいですね。

午後の空いた時間で頭の体操。「数学問題bot」さんから拾った問題です。合っている保証はありません。

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空間内に四面体 ABCD を考える。このとき、4 つの頂点 A, B, C, D を同時に通る球面が存在することを示せ ( 11 京大・理 )

四面体 ABCD に対して座標軸は任意に決められるので、頂点 A を原点とし、B( 2a, 0, 0 )、C( 2b, 2c, 0 )、D( 2d, 2e, 2f ) とします。
この時、辺 AB は x 軸上に、三角形 ABC は xy 平面上にあります。また、明らかに c ≠ 0、f ≠ 0 になります。

四面体の内点 P( x_c, y_c, z_c ) に対し、|AP| = |BP| = |CP| = |DP| = ( x_c² + y_c² + z_c² )^1/2 が成り立てば、P は求める球面の中心ということになるので、P が存在することを示せば十分です。三角形 PAB, PAC, PAD はそれぞれ二等辺三角形となるので、P は辺 AB, AC, AD の中点を通り各辺に垂直な平面の交点となります。平面の方程式は、

a( x - a ) = 0
b( x - b ) + c( y - c ) = 0
d( x - d ) + e( y - e ) + f( z - f ) = 0

となるので、

x_c = a
y_c = c - b( a - b ) / c
z_c = f - d( a - d ) / f - e( y_c - e ) / f

となります。この式を元に、|BP|², |CP|², |DP|² を求めると、

|BP|²
= ( 2a - a )² + ( 0 - y_c )² + ( 0 - z_c )²
= a² + y_c² + z_c²
= x_c² + y_c² + z_c²

|CP|²
= ( 2b - a )² + { 2c - [ c - b( a - b ) / c ] }² + ( 0 - z_c )²
= a² - 4ab + 4b² + [ c - b( a - b ) / c ]² - 4c[ c - b( a - b ) / c ] +4c² + z_c²
= x_c² + y_c² + z_c² - 4ab + 4b² - 4c² + 4ab - 4b² +4c²
= x_c² + y_c² + z_c²

|DP|²
= ( 2d - a )² + ( 2e - y_c )² + { 2f - [ f - d( a - d ) / f - e( y_c - e ) / f ] }²
= ( 2d - a )² + ( 2e - y_c )² + { f + d( a - d ) / f + e( y_c - e ) / f ] }²
= a² - 4ad + 4d² + y_c² - 4e・y_c + 4e² + [ f - d( a - d ) / f - e( y_c - e ) / f ]² +4[ d( a - d ) + e( y_c - e ) ]
= x_c² + y_c² + z_c² - 4ad + 4d² - 4e・y_c + 4e² +4ad - 4d² + 4e・y_c - 4e²
= x_c² + y_c² + z_c²

となるので、|AP| = |BP| = |CP| = |DP| が成り立ち、命題が証明されました。