2016年05月13日

13日の金曜日

今日は「13日の金曜日」です。

イエスが磔刑にされたのが云々というのはウソのようで、はっきりしたことはわかってないみたいですね。中世の頃から始まった迷信だそうですが、日本ではやはりあの映画から有名になったのではないでしょうか。一作目は面白かったと思います。二作目以降も見たような気もしますがほとんど覚えてません。ジェイソンが首吊り状態になっても自力でほどいてしまうシーンを覚えているんですけど、あれは何作目だったんでしょうかね。

今回は「マテマティカ 2」さんから拾った問題です。かなり苦戦した上に、合っているかどうか自信は全くありません。せっかく解いたので載せておきます。

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二次正方行列 A, B が次の二条件を満たしている。

(i) A - B = AB
(ii) ( A + B )n = 0 となる正の整数 n が存在する

このとき、B を A と E の一次式で表わせ。

まず、次の命題を証明します。

二次行列 A が逆行列を持たないとき、An = [ tr(A) ]n-1A
但し、tr(A) は A の対角成分の和とする。

A = |ac|
|bd|


とします。このとき、

A2 = |ac||ac|=|a2+bcac+cd|
|bd||bd||ab+bdbc+d2|


となりますが、A が逆行列を持たないとき ad - bc = 0 なので、ad = bc より

A2 = |a2+adc(a+d)|=|a(a+d)c(a+d)|=(a+d)A
|b(a+d)ad+d2||c(a+d)d(a+d)|


となります。

An = (a+d)n-1A が成り立つと仮定します。このとき

An+1=|a(a+d)n-1c(a+d)n-1||ac|
|b(a+d)n-1d(a+d)n-1||bd|

=|(a2+bc)(a+d)n-1(ac+cd)(a+d)n-1|
|(ab+bd)(a+d)n-1(bc+d2)(a+d)n-1|

=|a(a+d)(a+d)n-1c(a+d)(a+d)n-1|
|b(a+d)(a+d)n-1d(a+d)(a+d)n-1|

= (a+d)nA

なので、帰納法により命題が証明されました。

An = 0 のとき、A が逆行列を持てばそれを n - 1 回掛けることで A = 0 となり、0 は逆行列を持たないので矛盾します。従って、A ≠ 0 のとき、An = 0 が成り立つならば、A は逆行列を持ちません。このとき、An = (a+d)n-1A = 0 が成り立つので、a + d = 0 かつ |A| = 0 であることになります。A2 = (a+d)A なので、An = 0 となる n が存在するならばその最小値は 1 か 2 のいずれかであることになります ( n = 1 ならば A = 0 です )。

( A + B )n = 0 が成り立つとき、

B = |eg|
|fh|


とすれば

a + e + d + h = 0 --- (1)

| A + B | = ( a + e )( d + h ) - ( b + f )( c + g ) = 0 --- (2)

が成り立ちます。B = pA + qE ( 但し p ≠ 0 ) とすると、

B = |pa+qpc|
|pbpd+q|


なので、(1) より

a + ( pa + q ) + d + ( pd + q ) = ( p + 1 )( a + d ) + 2q = 0 --- (1')

であり、(2) より

[ a + ( pa + q ) ][ d + ( pd + q ) ] - ( b + pb )( c + pc )
= [ ( p + 1 )a + q ][ ( p + 1 )d + q ] - ( p + 1 )2bc
= ( p + 1 )2( ad - bc ) + q( p + 1 )( a + d ) + q2 = 0 --- (2')

になります。

(1') を (2') に代入して整理すると、

( p + 1 )2|A| = q2 --- (3)

となります。次に、

A - B = ( 1 - p )A - qE
AB = pA2 + qA

なので、A - B = AB ならば

( 1 - p )A - qE = pA2 + qA

となります。これを整理すると

A2 - [ ( 1 - p - q ) / p ]A + ( q / p )E = 0

となりますが、ケーリー・ハミルトンの公式から

( 1 - p - q ) / p = a + d --- (4)

q / p = |A| --- (5)

が成り立つ必要があります。従って、(3),(5) から

q2 / ( p + 1 )2 = q / p ( 但し p ≠ -1 とする ) より

q = ( p + 1 )2 / p --- (6)

となり、(5) に代入して

|A| = [ ( p + 1 ) / p ]2 --- (7)

(4) に代入して

{ 1 - p - [ ( p + 1 )2 / p ] } / p
= [ p - p2 - ( p2 + 2p + 1 ) ] / p2
= -( 2p2 + p + 1 ) / p2 = a + d --- (8)

となります。(7)(8) を満たす p が存在するとき、(6) によって q が決定し、B の一次式も決まります。

p = -1 のとき、(3) より q = 0 なので (6) を満たします。B = -A より A + B = 0 であり、A - B = 2A、AB = -A2 なので、

A2 + 2A = 0

より |A| = 0、a + d = -2 で、これらも (7)(8) を満たし、特別扱いする必要はなくなります。

最後に、p = 0 のときは B = qE より A - B = A - qE、AB = qA なので、

( 1 - q )A = qE

となり、これが成り立つのは A = [ q / ( 1 - q ) ]E ( q ≠ 1 ) のときに限ります。r = q / ( 1 - q ) とすれば q = r / ( 1 + r ) なので、

B = [ r / ( 1 + r ) ]E 但し A = rE

となります。

B の一次式を書くと、

B = pA + [ ( p + 1 )2 / p ]E

但し、|A| = [ ( p + 1 ) / p ]2 かつ a + d = -( 2p2 + p + 1 ) / p2

となります。例えば p = 1 のとき、B = A + 4E となります。また、|A| = 4、a + d = -4 です。これを満たす A として

A = |-1-1|
|1-3|


があります。このとき、

B = A + 4E =|3-1|
|11|

A - B =|-40|
|0-4|

AB =|-40|
|0-4|


となり、

A + B =|2-2|
|2-2|


より ( A + B )2 = 0 となります。  

Posted by fussy at 23:04Comments(0)TrackBack(0)数学