2016年08月21日

高校野球、終わりました

高校野球が終わりました。今年は栃木の作新学院が優勝しました。

オリンピックももうすぐ終わりで少々さみしい気もします。柔道・体操・水泳・カヌー・テニス・卓球・バドミントン・レスリング・シンクロナイズドスイミング・陸上と、いろいろと楽しませてもらいました。次のオリンピックは東京ですが、日本人選手のさらなる活躍に期待ですね。

8 月もあと 10 日ほどで終わりですが、あいかわらず厳しい暑さが続いてます。そして怒涛のごとく押し寄せる台風も少々心配です。今年は天候が異常なような気がしますが、毎年同じことを言っているのかも。秋には逆に台風が少なくなればうれしいんですけどね。  

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2016年08月14日

盆休み

お盆休みに入りましたが、相変わらず蒸し暑い日が続きます。明日は雨のようですね。さらに湿度が上がりそうな予感が。。。

数学問題bot(個人用)」から東大の問題を解いてみました。例によって合っている保証はありません。

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0 ≤ n ≤ m を満たすすべての整数 n について、mCn が奇数となる m を求めよ ( 1999年東大 )

mCn については以下の定理が成り立ちます。

mC0 = 1
mC1 = m
m+1Cn = mCn-1 + mCn
mCn = mCm-n

3 番目はいわゆる「パスカルの三角形」で、mCn を m = 0 を一番上にして下へ順番に、n = 0 を一番左側にして右の方へ順番に並べると以下の様な三角形ができます。

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
:

実際は正三角形の形に表しますが、面倒なので上のような書き方にしています。頂上から順に、x, x + y, ( x + y )2 ... を展開したときの係数と等しく、上側の二つの値を足すと下側の値になります。また、左右対称の形になっているのは先に示した 4 番目の式を表します。

パスカルの三角形を見ると、すでに m = 0, 1, 3, 7 のときに各係数は奇数となっているので、この結果から m = 2k - 1 ( k > 0 ) が解答であることが予想できます。そこで、2k-1-1Cn について命題が成り立つと仮定すると、

2k-1Cn
= ( 2k - 1 )! / ( 2k - n - 1 )!n!
= ( 2k - 1 )( 2k - 2 )...2k-1( 2k-1 - 1 )! / ( 2k - n - 1 )( 2k - n - 2 )...( 2k-1 - n )( 2k-1 - n - 1 )!n!
= [ ( 2k - 1 )( 2k - 2 )...2k-1 / ( 2k - n - 1 )( 2k - n - 2 )...( 2k-1 - n ) ]2k-1-1Cn

となるので、

kLn = ( 2k - 1 )( 2k - 2 )...2k-1 / ( 2k - n - 1 )( 2k - n - 2 )...( 2k-1 - n )

として、kLn が奇数であることを証明します。まず、明らかに kL0 = 1 です。また、分子の第一項は奇数であり、最後の項は偶数で、分子・分母ともに 2k-1 個の項の積となっています。分子は

( 2k - 1 )( 2k - 2 )...2k-1
= ( 2k - 1 )・2( 2k-1 - 1 )・( 2k - 3 )・22( 2k-2 - 1 )...2k-1
= 2k(k-1)/2(odd) ( 但し (odd) は奇数 )

で表せます。従って、分母に対しても 2 が k( k - 1 ) / 2 個あることが示されれば kLn は奇数であることになります。まず、n = 0 のときは分子・分母はともに等しくなるので成り立ちます。そこで、n のときに成り立っていると仮定します。このとき、n = 0 の場合に対して前側の項は n 個分少なくなり、同時に末尾には n 個の項が増えた形になります。n が奇数なら先頭は偶数、末尾は奇数であり、n が偶数ならその逆で、偶奇は交互に現れます。

( 2k - n - 1 )( 2k - n - 2 )...( 2k-1 - n )
n が奇数
n が偶数


n + 1 のときは、先頭の項がなくなり、末尾に項が一つ増えます。n が偶数のときは奇数の項が増減するだけなので 2 のべき数は変化しません。n が奇数のとき、2k - n - 1 がなくなり、2k-1 - n - 1 が増えます。n + 1 は偶数なので、これを 2pq ( 但し q は奇数 ) とすると、

2k - n - 1 = 2k - 2pq = 2p( 2k-p - q )
2k-1 - n - 1 = 2k-1 - 2pq = 2p( 2k-p-1 - q )

なのでやはり 2 のべき数は変わりません。

よって、帰納法により kLn は奇数であることになり、命題が証明されました。

係数を偶数は . 奇数は o としてパスカルの三角形を書くと以下のようになります。

シェルピンスキーのガスケット

この模様はさらに下側の三角形にも現れ、それが永遠に続きます。いわゆるフラクタル図形で「シェルピンスキーのガスケット」と呼ばれます。  

Posted by fussy at 22:03Comments(0)TrackBack(0)数学

2016年08月11日

山の日

今日は「山の日」です。が、特に山に登ることもなく終わってしまいました。

最後に山に登ったのは高校生の頃、それ以降は登山した記憶がないです。アウトドアには縁がないわけですが、テレビで特集なんかを見たりすると登山もいいなと思えてきたりします。あとは体力さえあれば。。。
デイリーポータル Z」で「日本一低い山 のぼり比べ」という記事がありました。大阪の「天保山」と四国は徳島県の「弁天山」、そして東北は仙台の「日和山」とそれぞれを紹介しています。これなら簡単に山頂へ到達できそうですね。達成感はなさそうですが。

本日、「アルゴリズムのコーナー」を更新しました。以前に紹介した「B-スプライン曲線」にNURBSの章を追加しています。前々から追加しようと考えつつずっと放置していた案件です。  

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2016年08月07日

バグ退治ロボット

毎日、暑い日が続きます。
今日は昼間に少し外出してましたが、あまりの暑さに汗でベタベタになりました。家に着いた時には少し頭がクラクラしていたので、ちょっと危なかったです。今の時期、少しの時間でも油断できないですね。

少し前のニュースで、人工知能を使って発見の難しいある種の白血病が特定できたという話題がありました。病気の特定は医者の経験がモノを言うと思ってましたが、情報さえ与えてあげれば A.I. でも同様のことが可能だということで、すごい時代になったものだと思います。
職業柄、システムのトラブルに対して原因を調査するということはよくありますが、これも人工知能を使って特定するようなことができたら非常に楽になります。こういった作業は意外に経験が必要になってくるので、自動的にシステムの不備を判断するというのは難しいんですよね。まずはプログラムの問題を人工知能が特定してくれるようなツールが誕生すると非常に便利だと思うのですが、プログラムの用途などによって状況が変わるのでなかなか難しいかもしれません。しかし、あればうれしい機能です。デバッグほどつらい作業というのもないですから。  

Posted by fussy at 21:44Comments(0)TrackBack(0)