2017年03月19日

名大入試問題 2017 (6)

明日は「春分の日」です。個人的にはもっと暖かくなってほしいところです。

2017 年名大入試問題のラストです。結構、悩まされました。

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次の問に答えよ。
(1) 次の条件 (*) を満たす 3 つの自然数の組 ( a, b, c ) をすべて求めよ。
(*) a < b < c かつ 1/a +1/b + 1/c = 1/2 である。
(2) 偶数 2n ( n ≥ 1 ) の 3 つの正の約数 p, q, r で p > q > r と p + q + r = n を満たす組 ( p, q, r ) の個数を f(n) とする。ただし、条件を満たす組が存在しない場合は、f(n) = 0 とする。n が自然数全体を動くときの f(n) の最大値 M を求めよ。また、f(n) = M となる自然数 n の中で最小のものを求めよ。

(1) (*) より 1/a > 1/2 なので a > 2 になります。

a = 3 のとき、1/b + 1/c = 1/2 - 1/3 = 1/6 より 1/b < 1/6 なので b > 6 です。
b = 7 のとき 1/c = 1/6 - 1/7 = 1/42、b = 8 のとき 1/c = 1/6 - 1/8 = 1/24、b = 9 のとき 1/c = 1/6 - 1/9 = 1/18、b = 10 のとき 1/c = 1/6 - 1/10 = 1/15、b = 11 のとき 1/c = 1/6 - 1/11 = 5/66、b = 12 のとき 1/c = 1/6 - 1/12 = 1/12 で b = c となるのでこれ以上はありません。よって、( 3, 7, 42 ), ( 3, 8, 24 ), ( 3, 9, 18 ), ( 3, 10, 15 ) が得られます。

a = 4 のとき、1/b + 1/c = 1/2 - 1/4 = 1/4 より 1/b < 1/4 なので b > 4 です。
b = 5 のとき 1/c = 1/4 - 1/5 = 1/20、b = 6 のとき 1/c = 1/4 - 1/6 = 1/12、b = 7 のとき 1/c = 1/4 - 1/7 = 3/28、b = 8 のとき 1/c = 1/4 - 1/8 = 1/8 で b = c となるのでこれ以上はありません。よって、( 4, 5, 20 ), ( 4, 6, 12 ) が得られます。

a = 5 のとき、1/b + 1/c = 1/2 - 1/5 = 3/10 より 1/b < 3/10 なので b > 3 ですが、a = 5 なので b ≥ 6 となります。
b = 6 のとき 1/c = 3/10 - 1/6 = 2/15、b = 7 のとき 1/c = 3/10 - 1/7 = 11/70 > 1/7 で b > c となるのでこれ以上はありません。

a = 6 のとき、1/b + 1/c = 1/2 - 1/6 = 1/3 より 1/b < 1/3 なので b > 3 ですが、a = 6 なので b ≥ 7 となります。
b = 7 のとき 1/c = 1/3 - 1/7 = 4/21 > 1/7 で b > c となるのでこれ以上はありません。

以下、a ≥ 6 のときは b ≥ a + 1 であり、1/c = 1/2 - 1/a - 1/(a+1) ≥ 1/2 - 1/6 - 1/7 = 4/21 > 1/7 より c < 7 となり、 a < b < c を満たさなくなるのでこれ以上はありません。

よって、( 3, 7, 42 ), ( 3, 8, 24 ), ( 3, 9, 18 ), ( 3, 10, 15 ), ( 4, 5, 20 ), ( 4, 6, 12 ) の 6 つになります。

(2) p = 2n/p'、q = 2n/q'、r = 2n/q' とすると、p' < q' < r' かつ 1/p' + 1/q' + 1/r' = p/2n + q/2n + r/2n = 1/2 となるので、( p', q', r' ) の組は (1) でもとめたものに限ります。以下、k を 1 以上の整数とします。

( p', q', r' ) = ( 3, 7, 42 ) のとき、n = 21k ならば p = 14k, q = 6k, r = k で p + q + r = 21k なので成り立ちます。
( p', q', r' ) = ( 3, 8, 24 ) のとき、n = 12k ならば p = 8k, q = 3k, r = k で p + q + r = 12k なので成り立ちます。
( p', q', r' ) = ( 3, 9, 18 ) のとき、n = 9k ならば p = 6k, q = 2k, r = k で p + q + r = 9k なので成り立ちます。
( p', q', r' ) = ( 3, 10, 15 ) のとき、n = 15k ならば p = 10k, q = 3k, r = 2k で p + q + r = 15k なので成り立ちます。
( p', q', r' ) = ( 4, 5, 20 ) のとき、n = 10k ならば p = 5k, q = 4k, r = k で p + q + r = 10k なので成り立ちます。
( p', q', r' ) = ( 4, 6, 12 ) のとき、n = 6k ならば p = 3k, q = 2k, r = k で p + q + r = 6k なので成り立ちます。

すなわち、n = 6k, 9k, 10k, 12k, 15k, 21k のとき p + q + r = n を満たす ( p, q, r ) の組が存在することになります。これらの最初公倍数は 2・2・3・3・5・7k = 1260k で、このとき f(n) = 6 となります。よって、M = 6 で、最小の数は 1260 です。  

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2017年03月18日

名大入試問題 2017 (5)

歯医者で検診がありました。結果、虫歯が一本。治療が必要ということで憂うつです。

2017 年名大入試文系の問題です。去年と同様、全体的に文系のほうが難しいと感じました。

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a を正の定数とする。2 次関数 f(x) = ax2 と 3 次関数 g(x) x( x - 4 )2 について、次の問に答えよ。
(1) 関数 y = g(x) について、極値を求め、そのグラフを描け。
(2) 2 つの曲線 y = f(x) と y = g(x) は相異なる 3 点で交わることを示せ。
(3) 2 つの曲線 y = f(x) と y = g(x) で囲まれた 2 つの部分の面積が等しくなるように a の値を定めよ。またそのとき、2 つの曲線の交点の x 座標を求めよ。

(1) g(x) = x( x - 4 )2 より
g'(x) = ( x - 4 )2 + 2x( x - 4 )
= ( x - 4 )( 3x - 4 )

なので、x = 4, 4/3 のとき極値になります。g(4) = 0, g(4/3) = 256/27 で増減表は

x04/34
g(x)-0+256/27+0-
g'(x)+0-0+


なのでグラフは下図のようになります。

(1)の解答

(2) f(x) = g(x) のとき、x( x - 4 )2 = ax2 より明らかに x = 0 を買いに持ちます。
x ≠ 0 のとき、両辺を x で割って ( x - 4 )2 = ax より

x2 - ( a + 8 )x + 16 = 0

の判別式 D を求めると

D = ( a + 8 )2 - 64 = a2 + 16a

となり、a は正の定数なので D > 0 より実数解は 2 つ存在します。従って、命題が成り立ちます。

(3) 2 つの解を r, s ( 但し r < s ) としたとき、

∫{0→s} x( x - 4 )2 - ax2 dx = 0

が成り立てばよいので、上式の左辺を計算すると

(左辺) = ∫{0→s} x3 - 8x2 + 16x - ax2 dx
= [ (1/4)x4 - (8/3)x3 + 8x2 - (a/3)x3 ]{0→s}
= (1/4)s4 - (8/3)s3 + 8s2 - (a/3)s3 = 0

となります。s ≠ 0 より左辺を s2 / 12 で割って

3s2 - ( 4a + 32 )s + 96 = 0

より a = (3/4)s + 24/s - 8 になります。r, s の値を計算すると

[ ( a + 8 ) ± ( a2 + 16a )1/2 ] / 2 で s は符号が + の方なので、

1/s = 2 / [ ( a + 8 ) ± ( a2 + 16a )1/2 ]
= [ ( a + 8 ) - ( a2 + 16a )1/2 ] / 32

より

a = (3/8)[ ( a + 8 ) + ( a2 + 16a )1/2 ] + (3/4)[ ( a + 8 ) - ( a2 + 16a )1/2 ] - 8
= (9/8)( a + 8 ) - (3/8)( a2 + 16a )1/2 - 8

となります。式を変形して

(1/8)a + 1 = (3/8)( a2 + 16a )1/2

より両辺に 8 を描けて 2 乗すると

( a + 8 )2 = 9( a2 + 16a )

式を整理して

a2 + 16a - 8 = 0

となります。従って

a = -8 ± 6√2

で a > 0 より a = -8 + 6√2 となります。このとき、r, s は

{ [ ( -8 + 6√2 ) + 8 ] ± [ ( -8 + 6√2 )2 + 16( -8 + 6√2 ) ]1/2 } / 2
= ( 6√2 ± √8 ) / 2 = 2√2, 4√2

と求められます。  

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2017年03月12日

名大入試問題 2017 (4)

暑さ寒さも彼岸までとは言いますが、来週になれば暖かくなるのでしょうかね。

少し前に「ブラック・ジャック」の 1, 2 巻を買いました。昔の単行本のやつです。まだ買えるんですねこれ。
久しぶりに読みましたがやっぱり面白いです。続けてほしくなりましたが、コンプリートしようとすると結構お金かかるんですよね。どうしましょうか。

2017 年の名大入試問題の理系最後の問題です。次回から文系に移ります。

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n を自然数とする。0 でない複素数からなる集合 M が次の条件 (I), (II), (III) を満たしている。

(I) 集合 M は n 個の要素からなる。
(II) 集合 M の要素 z に対して 1 / z と -z はともに集合 M の要素である。
(III) 集合 M の要素 z, w に対して、その積 zw は集合 M の要素である。ただし、z = w の場合も含める。

このとき、次の問に答えよ。

(1) 1 および -1 は集合 M の要素であることを示せ。
(2) n は偶数であることを示せ。
(3) n = 4 のとき、集合 M は一通りに定まることを示し、その要素をすべて求めよ。
(3) n = 6 のとき、集合 M は一通りに定まることを示し、その要素をすべて求めよ。

(1) 集合 M のある要素 z に対して (II) より 1 / z は M の要素なので、(III) より z と 1 / z の積 1 は必ず集合 M の要素となります。また、(II) より -z も M の要素なので、(III) より -z と 1 / z の積 -1 も M の要素です。
(2) (1) より { 1, -1 } は必ず集合 M の要素となるので、M の一つの要素を z としたとき -1 との積 -z が必ず M に存在します。0 を含まないことから z ≠ -z かつ集合 M の異なる二つの要素 z1, z2 に対して -z1 ≠ -z2 なので、集合 M の要素は { z, -z } のペアをちょうど複数個持つことになり、n は偶数となります。
(3) { 1, -1 } は必ず M にあるので、残り 2 つの要素は ±1 とは異なるある複素数 z に対して [ z, 1 / z, -z } で表され、z ≠ -z より 1 / z は z, -z のいずれかと等しいことになります。z = 1 / z のとき z2 = 1 より z = ±1 なので条件を満たしません。-z = 1 / z のとき z2 = -1 となり、z = i より 4 つの要素 { 1, -1, i, -i } が決まります。
(4) ±1 とは異なるある複素数 z に対して条件 (III) より z2 も M の要素となります。z2 = 1 のとき z = ±1 であり条件を満たしません。また、z2 = -1 のとき z = i なので、これは n = 4 の場合に該当します。z2 = ±z のとき z = ±1 なのでこれらも除外すると、z2 は新たな要素であることになります。従って、{ 1, -1, z, -z, z2, -z2 } は集合 M の要素の一部を表し、その他に ±1 / z, ±1 / z2 も集合 M に含まれます。
1 / z = ±z のときは z2 = ±1 となりこれは n = 2, 4 の場合に該当します。
1 / z = z2 のとき z3 = 1 より 1 以外の解は z = ( -1 ± √3i ) / 2 となります。このとき、1 / z = 2 / ( -1 ± √3i ) = ( -1 ∓√3i ) / 2 = z2 であり、1 / z2 = 2 / ( -1 ∓√3i ) = ( -1 ±√3i ) / 2 = z となります。
1 / z = -z2 のとき z3 = -1 より -1 以外の解は z = ( 1 ± √3i ) / 2 となります。このとき、1 / z = 2 / ( 1 ± √3i ) = ( 1 ∓√3i ) / 2 = z2 であり、1 / z2 = 2 / ( 1 ∓√3i ) = ( 1 ±√3i ) / 2 = z となります。
よって、n = 6 のときは { 1, -1, ( 1 ± √3i ) / 2, ( -1 ± √3i ) / 2 } のみとなります。
  

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2017年03月11日

名大入試問題 2017 (3)

今日は 3 月 11 日です。

Yahoo で「3.11」と検索すると、10 円が寄付されます。但し、3 月 11 日中だけです。今なら間に合いますよ。

2017 年名大入試問題の 3 問目です。そういえば、合格発表がすでにあったようですね。

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xyz 空間の 2 点 A( 0, 0, 2 ), P( a, b, 0 ) を通る直線を l とする。また、点 ( 2, 0, 0 ) を中心都市、半径が √2 である球面を S で表し、S のうち z 座標が z > 0 を満たす部分を T とする。このとき、次の問に答えよ。
(1) l 上に点 Q がある。実数 t を [AQ] = t[AP] ( [XY]は二点 X, Y を結ぶベクトルを表す ) で定めるとき、点 Q の座標を a, b, t を使って表せ。
(2) l が S と相異なる 2 点で交わるような実数 a, b に関する条件を求め、ab 平面上に図示せよ。
(3) l が T と相異なる 2 点で交わるような実数 a, b に関する条件を求め、ab 平面上に図示せよ。

(1) 図より Q( at, bt, 2 - 2t ) です。

問題の図

(2) l と S の交点を Q とすると、( at - 2 )2 + ( bt )2 + ( 2 - 2t )2 = 2 が成り立ちます。これを変形すると

( a2 + b2 + 4 )t2 - ( 4a + 8 )t + 6 = 0

これが異なる実数解を持つためには判別式 D > 0 である必要があります。従って

D = ( 4a + 8 )2 - 24( a2 + b2 + 4 )
= -8a2 + 64a - 24b2 - 32 > 0 より

a2 - 8a + 3b2 + 4 < 0
( a - 4 )2 + 3b2 < 12 が条件となります。

(2)の解答

(3) P が球の内部にある場合、l は T 上の 1 点と、S の z ≤ 0 の領域の 1 点で交差することになります。従ってこの範囲では成り立たず、( a - 2 )2 + b2 > 2 でなければなりません。
P が球の外部にある場合、S の z > 0 の領域の 2 点で交差する場合が成り立つ範囲となります。f(t) = ( a2 + b2 + 4 )t2 - ( 4a + 8 )t + 6 としたとき、|AQ| < |AP| となることからこの関数は t < 1 の領域で実数解を持つので

t>1で実数解を持つ条件

(i) f(1) > 0
(ii) f'(1) > 0

の二つが成り立つことになります。(i) より

f(1) = ( a2 + b2 + 4 ) - ( 4a + 8 ) + 6 = ( a - 2 )2 + b2 - 2 > 0

なのでこれは先程求めた範囲に等しくなります。また、(ii) より

f'(1) = 2( a2 + b2 + 4 ) - ( 4a + 8 ) = 2( a - 1 )2 + 2b2 - 2 > 0

なので、( a - 1 )2 + b2 > 1 がもう一つの範囲となります。(2) の結果と合わせると、求める条件は

( a - 4 )2 + 3b2 < 12
( a - 2 )2 + b2 > 2
( a - 1 )2 + b2 > 1

となります。

( a - 4 )2 + 3b2 = 12 と ( a - 2 )2 + b2 = 2 の交点は ( a, b ) = ( 1, ±1 ) です。
また、( a - 2 )2 + b2 = 2 と ( a - 1 )2 + b2 = 1 の交点も ( a, b ) = ( 1, ±1 ) で、この 3 つの曲線は同じ点 ( a, b ) = ( 1, ±1 ) で交わります。それに注意して図示すると以下のようになります。

(3)の解答  

Posted by fussy at 16:53Comments(0)TrackBack(0)数学