Fussy's Diary

もうすぐ 4 月です。会社の組織変更で人の入れ替えが多く、明日は送別会が予定されています。

「数学問題 bot」から、もう一問解いてみました。2009 年の東北大の問題です。

1) a + b = c のとき、a³ + b³ ＋ 3abc = c³ を示せ。
2) a + b ≥ ｃ のとき、a³ + b³ + 3abc ≥ c³ を示せ。

1) は簡単なので 2) だけ。

a³ + b³ + 3abc - c³
= ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + 3abc - c³
= ( a + b - c )[ ( a + b )² + ( a + b )c + c² ] - 3ab( a + b - c )
= ( a + b - c )[ ( a + b )² + ( a + b )c + c² - 3ab ]
= ( a + b - c )( a² + b² + c² - ab + bc + ca )
= ( a + b - c )[ ( a - b )² + ( b + c )² + ( c + a )² ] / 2

a + b ≥ c より a + b - c ≥ 0 なので (上式) ≥ 0 になる。

式の変形に気付くことができれば簡単だと思いますが、時間のあるときに悩んで二日ほどでやっと解けたといったところです。
暇つぶしに適当な問題に挑戦するのは結構いい頭の体操になります。問題は、出題される数が多くて目移りしてしまうこと...