Fussy's Diary

少し前に初めて若鯱家に入りました。

名古屋ではカレーうどん専門店として有名ですが、今まで入ったことがなかったんですよね。で、外出時に一度食べてみようと思い立ったわけですが、予想以上に熱くて食べるのに苦労しました。しかし、辛さはそうでもなく、辛いもの好きには物足りないかもしれません。自分にとってはちょうどよかったですが。

昔、拾った大学入試問題です。例によって合っている保証はありません。

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n を自然数とし In = ∫{0→1} xⁿe^x dx とおく。 (中略) 3) lim{n→∞} n( n * In - e ) を求めよ ( 01 大分医科大 )

部分積分法を使って

In
= ∫{0→1} xⁿe^x dx
= [ ( 1 / n )xⁿ⁺¹e^x ]{0→1} - ∫{0→1} ( 1 / n )xⁿ⁺¹e^x dx
= e / n - [ [ 1 / n( n + 1 ) ]xⁿ⁺²e^x ]{0→1} + ∫{0→1} [ 1 / n( n + 1 ) ]xⁿ⁺²e^x dx
= e / n - e / n( n + 1 ) + e / n( n + 1 )( n + 2 ) - ... + ( -1 )^k+1∫{0→1} [ ( n - 1 )! / ( n + k )! ]x^n+ke^x dx
= e / n + eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^k( n - 1 )! / ( n + k )! )

となるので、

nIn - e
= n[ e / n + eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^k( n - 1 )! / ( n + k )! ) ] - e
= eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^kn( n - 1 )! / ( n + k )! )
= eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^kn! / ( n + k )! )

であり、

n( nIn - e )
= eΣ_k{1→∞}( ( -1 )^knn! / ( n + k )! )
= e{ -1 / ( 1 + 1 / n ) + 1 / [ ( n + 1 )( n + 2 ) / n ] - ... } → -e (n→∞)

となります。