Fussy's Diary

今日はわりと暖かい一日でした。散歩するにはいい日でしたね。夕方から少し雨が降りましたが。

今回は、とある参考書にあった問題です。大学入試にも出そうな内容ですね。

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1) 2^r - 1 が素数とすると、r は素数であることを示せ。
2) 2^r + 1 が素数であれば、r は 2 のベキであることを示せ。

1) 対偶となる「r が合成数なら 2^r - 1 は合成数」を示します。r = mn ( m, n は 2 以上の整数 ) とすると、

2^r - 1 = 2^mn - 1 = ( 2ⁿ )^m - 1

となります。2ⁿ = K とすると、

2^r - 1 = K^m - 1 = ( K - 1 )( K^m-1 + K^m-2 + ... + 1 )

なので、2^r - 1 は必ず合成数となります。

2) 対偶となる「r が 2 のベキでないなら 2^r + 1 は合成数」を示します。r = m( 2n + 1 ) ( m, n は 1 以上の整数 ) とすると、

2^r + 1 = 2^m(2n+1) + 1 = ( 2^m )²ⁿ⁺¹ + 1

となります。2^m = K とすると、

2^r + 1 = K²ⁿ⁺¹ + 1 = ( K + 1 )( K²ⁿ - K^2n-1 + ... - K + 1 )

なので、2^r + 1 は必ず合成数となります。

2^r - 1 の形の素数を「メルセンヌ数」、2^r + 1 の形の素数を「フェルマーの素数」というそうです。

( 出典元 「群・環・体入門」 新妻弘・木村哲三 著 共立出版 )