Fussy's Diary

大寒に入って、あいかわらず寒い毎日です。

大相撲初場所は稀勢の里が見事に優勝しました。横綱になれば、日本人としては 19 年ぶりの横綱誕生になるのだそうです。最後に横綱になったのが若乃花というから本当に久々ですね。
日本では相撲が盛り上がりを見せていましたが、世界中はトランプ大統領の就任に対して大規模なデモが行われていたようです。何か異常な状況ですが、本当に大丈夫なんでしょうかね、このままで。

「数学問題bot」から、京大の問題です。例によって合っている保証はありません。

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極方程式 r = 1 + cos θ ( 0 ≤ θ ≤ π ) で表される曲線の長さを求めよ ( 09 京都・理甲 )

x = r cos θ
= ( 1 + cos θ )cos θ
= cos θ + ( 1 / 2 )( 2cos² θ - 1 ) + 1 / 2
= ( 1 / 2 )cos 2θ + cos θ + 1 / 2

y = r sin θ
= ( 1 + cos θ )sin θ
= sin θ + ( 1 / 2 )( 2sin θcos θ )
= ( 1 / 2 )sin 2θ + sin θ

より

dx / dθ = -sin 2θ - sin θ
dy / dθ = cos 2θ + cos θ

となります。従って、曲線の長さは

∫{0→π} [ ( dx / dθ )² + ( dy / dθ )² ]^1/2 dθ
= ∫{0→π} [ ( -sin 2θ - sin θ )² + ( cos 2θ + cos θ )² ]^1/2 dθ
= ∫{0→π} ( sin² 2θ + 2sin 2θsin θ + sin² θ + cos² 2θ + 2cos 2θcos θ + cos² θ )^1/2 dθ

を解くことで求められます。

cos 2θcos θ + sin 2θsin θ
= cos ( 2θ - θ ) = cos θ より

(与式) = ∫{0→π} ( 2 + 2cos² θ )^1/2 dθ

t = cos θ とすると、

dt / dθ = -sin θ ( 0 ≤ θ ≤ π より sin θ ≥ 0 )
= -( 1 - cos² θ )^1/2
= -( 1 - t² )^1/2

で、θ = 0 のとき t = 1、θ = π のとき t = -1 なので、

(与式) = √2∫{1→-1} ( 1 + t )^1/2・[ - 1 / ( 1 - t² )^1/2 ] dt
= √2∫{-1→1} ( 1 - t )^-1/2 dt
= √2[ -2( 1 - t )^1/2 ]{-1→1}
= √2( 0 + 2√2 ) = 4

となります。