2016年09月18日
夏の名残り
八月の中旬ごろに、ベランダでカミキリムシを見つけて写真に撮っていました。
昔はもっと頻繁に見る機会があったように思うのですが、自然が少なくなったのか、自分が自然から遠ざかってしまったのか。
最後にクワガタを見たのは何年前だったろうか。
「数学問題bot(個人用)」から東工大の問題にチャレンジ。合っている保証はありません ( かなり強引な解き方だと思います )。
-----
f(x) は周期は 2π の連続関数で、c は正の定数とする。すべての x について ∫{0→2π} f(t-x)sint dt = cf(x) が成り立つとき、f(x) および c の値を求めよ。ただし f(0) = 1 とする。( 東工大 1977 年誘導略 )
部分積分法により
∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = -[ f(t-x)cos t ]{0→2π} + ∫{0→2π} f'(t-x)cos t dt
ここで、f(x) が周期 2π の連続関数なので f(2π-x)cos 2π = f(-x)cos 0 より [ f(t-x)cos t ]{0→2π} = 0 であり、
∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = ∫{0→2π} f'(t-x)cos t dt
もう一度部分積分法を使って
∫{0→2π} f'(t-x)cos t dt
= [ f'(t-x)sin t ]{0→2π} - ∫{0→2π} f''(t-x)sin t dt
= -∫{0→2π} f''(t-x)sin t dt
よって、任意の x について ∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = -∫{0→2π} f''(t-x)sin t dt となり、これが成り立つためには
f(x) = -f''(x)
でなければなりません。周期 2π の連続関数でこの条件を満たすものとして
f(x) = a sin( x - u ) + b cos( x - v )
があります。但し、a,b,u,v は任意の定数とします。このとき、f(0) = 1 より
-a sin u + b cos v = 1
が成り立ちます。
∫{0→2π} f(t-x)sin t dt
= ∫{0→2π} { a sin[ t - ( x + u ) ] + b cos[ t - ( x + v ) ] }sin t dt
= a∫{0→2π} [ sin t cos( x + u ) - cos t sin( x + u ) ]sin t dt
+ b∫{0→2π} [ cos t cos( x + v ) + sin t sin( x + v ) ]sin t dt
= [ a cos( x + u ) + b sin( x + v ) ]∫{0→2π} sin2t dt
- [ a sin( x + u ) - b cos( x + v ) ]∫{0→2π} sin t cos t dt
sin 2t = 2 sin t cos t より
∫{0→2π} sin t cos t dt
= (1/2)∫{0→2π} sin 2t dt
= (1/4)[ -cos 2t ]{0→2π} = 0
なので二項目は消え、
cos 2t = cos2t - sin2t = 1 - 2sin2t より
∫{0→2π} sin2t dt
= (1/2)∫{0→2π} 1 - cos 2t dt
= (1/2)[ t - (1/2)sin 2t ]{0→2π} = π
よって、
∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = π[ a cos( x + u ) + b sin( x + v ) ]
となります。また、
c f(x) = c[ a sin( x - u ) + b cos( x - v ) ]
より、
π[ a cos( x + u ) + b sin( x + v ) ] = c[ a sin( x - u ) + b cos( x - v ) ]
を満たす定数を求めれば、c と f(x) を得ることができます。
(左辺)
= π[ a( cos x cos u - sin x sin u ) + b( sin x cos v + cos x sin v ) ]
= π[ ( -a sin u + b cos v )sin x + ( a cos u + b sin v )cos x ]
ここで、-a sin u + b cos v = 1 より
= π[ sin x + ( a cos u + b sin v )cos x ]
(右辺)
= c[ a( sin x cos u - cos x sin u ) + b( cos x cos v + sin x sin v ) ]
= c[ ( a cos u + b sin v )sin x + ( -a sin u + b cos v )cos x ]
= c[ ( a cos u + b sin v )sin x + cos x ]
恒等的に (左辺) = (右辺) が成り立つためには
c( a cos u + b sin v ) = π
c = π( a cos u + b sin v )
よって
c2 = π2
より c > 0 なので c = π となり、
a cos u + b sin v = 1
となります。従って、
f(x) = sin x + cos x
c = π
が求める解となります。
昔はもっと頻繁に見る機会があったように思うのですが、自然が少なくなったのか、自分が自然から遠ざかってしまったのか。
最後にクワガタを見たのは何年前だったろうか。
「数学問題bot(個人用)」から東工大の問題にチャレンジ。合っている保証はありません ( かなり強引な解き方だと思います )。
-----
f(x) は周期は 2π の連続関数で、c は正の定数とする。すべての x について ∫{0→2π} f(t-x)sint dt = cf(x) が成り立つとき、f(x) および c の値を求めよ。ただし f(0) = 1 とする。( 東工大 1977 年誘導略 )
部分積分法により
∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = -[ f(t-x)cos t ]{0→2π} + ∫{0→2π} f'(t-x)cos t dt
ここで、f(x) が周期 2π の連続関数なので f(2π-x)cos 2π = f(-x)cos 0 より [ f(t-x)cos t ]{0→2π} = 0 であり、
∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = ∫{0→2π} f'(t-x)cos t dt
もう一度部分積分法を使って
∫{0→2π} f'(t-x)cos t dt
= [ f'(t-x)sin t ]{0→2π} - ∫{0→2π} f''(t-x)sin t dt
= -∫{0→2π} f''(t-x)sin t dt
よって、任意の x について ∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = -∫{0→2π} f''(t-x)sin t dt となり、これが成り立つためには
f(x) = -f''(x)
でなければなりません。周期 2π の連続関数でこの条件を満たすものとして
f(x) = a sin( x - u ) + b cos( x - v )
があります。但し、a,b,u,v は任意の定数とします。このとき、f(0) = 1 より
-a sin u + b cos v = 1
が成り立ちます。
∫{0→2π} f(t-x)sin t dt
= ∫{0→2π} { a sin[ t - ( x + u ) ] + b cos[ t - ( x + v ) ] }sin t dt
= a∫{0→2π} [ sin t cos( x + u ) - cos t sin( x + u ) ]sin t dt
+ b∫{0→2π} [ cos t cos( x + v ) + sin t sin( x + v ) ]sin t dt
= [ a cos( x + u ) + b sin( x + v ) ]∫{0→2π} sin2t dt
- [ a sin( x + u ) - b cos( x + v ) ]∫{0→2π} sin t cos t dt
sin 2t = 2 sin t cos t より
∫{0→2π} sin t cos t dt
= (1/2)∫{0→2π} sin 2t dt
= (1/4)[ -cos 2t ]{0→2π} = 0
なので二項目は消え、
cos 2t = cos2t - sin2t = 1 - 2sin2t より
∫{0→2π} sin2t dt
= (1/2)∫{0→2π} 1 - cos 2t dt
= (1/2)[ t - (1/2)sin 2t ]{0→2π} = π
よって、
∫{0→2π} f(t-x)sin t dt = π[ a cos( x + u ) + b sin( x + v ) ]
となります。また、
c f(x) = c[ a sin( x - u ) + b cos( x - v ) ]
より、
π[ a cos( x + u ) + b sin( x + v ) ] = c[ a sin( x - u ) + b cos( x - v ) ]
を満たす定数を求めれば、c と f(x) を得ることができます。
(左辺)
= π[ a( cos x cos u - sin x sin u ) + b( sin x cos v + cos x sin v ) ]
= π[ ( -a sin u + b cos v )sin x + ( a cos u + b sin v )cos x ]
ここで、-a sin u + b cos v = 1 より
= π[ sin x + ( a cos u + b sin v )cos x ]
(右辺)
= c[ a( sin x cos u - cos x sin u ) + b( cos x cos v + sin x sin v ) ]
= c[ ( a cos u + b sin v )sin x + ( -a sin u + b cos v )cos x ]
= c[ ( a cos u + b sin v )sin x + cos x ]
恒等的に (左辺) = (右辺) が成り立つためには
c( a cos u + b sin v ) = π
c = π( a cos u + b sin v )
よって
c2 = π2
より c > 0 なので c = π となり、
a cos u + b sin v = 1
となります。従って、
f(x) = sin x + cos x
c = π
が求める解となります。
