Fussy's Diary

今日から暦の上では秋になります。まだまだ暑い日が続きそうですが、今日は少しだけ涼しかったような気がします。

Twitter で数学の問題を出題しているサイトをまた見つけました。というか、フォローされていて気付かなかったようで、今日ようやくフォローいたしました。マテマティカ2　というユーザさんで、その中から一問挑戦してみました。

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143: 集合 M は 3 つの元 0, i, j からなる。すなわち M = { 0, i, j } である。M で加法をどのように定義すると、交換法則、結合法則を満たし、かつ減法できるようになるか。

また、上のときの次の計算をせよ。
i + i
i + j
j + j

ただし、任意の k に対して、k + 0 = k とする。

(解) 任意の k に対して k + 0 = k なので、0 + 0 = 0, i + 0 = 0 + i = i, j + 0 = 0 + j = j です。
また、i + j = i の場合 j = 0 となり、i + j = j の場合は i = 0 となるため、i + j = 0 でなければなりません。従って、

i = 0 - j = -j
j = 0 - i = -i

となります。結合法則を満たすためには、

( i + i ) + j = i + ( i + j )

が成り立つ必要がありますが、右辺は i に等しくなるため

( i + i ) + j = i より i + i = i - j = -j - j = -( j + j )

です。同様に

( j + j ) + i = j より j + j = j - i = -i - i = -( i + i )

となります。

つまり、i は j の ( j は i の ) 逆元になるように加法を定義すればよいということになります。


例によって合っている保証はないので注意です。