Fussy's Diary

テレビをモニタ代わりに使うのはきついので、以前使っていたノート PC からリモートでアクセスできるようにしました。これで休日の一日がつぶれてしまいました。

メイン PC は現在 Windows7 がホスト OS で、ここに VirtualBox を入れて Vine Linux をゲスト OS に使っています。
Windows7 へは vnc でアクセスできるようにしたものの、動作が重すぎてこちらは使い物になりませんでした。VirtualBox のゲスト OS にリモートデスクトップ接続できることを知って試してみたのですが接続ができず、よくよく調べてみると拡張パックをインストールしなければならないということで、さっそくダウンロード。Ver5 がリリースされていたということでついでにバージョンアップもしました。これで Linux へもアクセスできるようになり、しかもこちらは充分利用可能だったので何とかしのぐことができました。ちなみにノート PC は Lenovo の ThinkPad T510 という機種。中には xubuntu が入っていて、ずっと使ってなかったのでアップグレードも実施しました。

それから、購入するモニタの目処はついたものの、二台のうちからまだ選べきれず、悩んでいます。

いつ、どこで拾ったのか思い出せないですが、どこかの大学の入試問題だと記憶してます。

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t をパラメータとする次の曲線の法平面は原点で交わることを証明せよ。 x = a sin² t, y = a sin t cos t , z = a cos t

まずは ( x, y, z ) を t で微分してみます。

dx / dt = 2a sin t cos t = a sin 2t
dy / dt = a cos² t - a sin² t = a cos 2t
dz / dt = -a sin t

∇ = ( dx/dt, dy/dt, dz/dt ) としたとき、∇ は曲線の接線ベクトルを表すので、その法平面は

a sin 2t ( x - a sin² t ) + a cos 2t ( y - a sin t cos t ) - a sin t ( z - a cos t ) = 0

となります。( x, y, z ) = 0 のとき左辺は

-a sin 2t・a sin² t - a cos 2t・a sin t cos t + a sin t・a cos t
= -a² sin 2t・sin² t - ( a² / 2 ) cos 2t・sin 2t + ( a² / 2 ) sin 2t
= -a² sin 2t・sin² t + ( a² / 2 ) sin 2t ( 1 - cos 2t )
= -a² sin 2t・sin² t + ( a² / 2 ) sin 2t [ 1 - ( cos² t - sin² t ) ]
= -a² sin 2t・sin² t + ( a² / 2 ) sin 2t・2sin² t
= -a² sin 2t・sin² t + a² sin 2t・sin² t = 0

であり、任意の t について曲線の法平面は原点で交わります。

例によって合っている保証はありません。