Fussy's Diary

今日、テレビで喫茶「マウンテン」が紹介されてました。

他にはない奇抜なメニューで非常に有名な喫茶店ですが、20 年以上前からすでにその名は知られていて、近隣の学生(特に体育会系)に人気があったようです。小倉抹茶スパもその頃すでにあって、主に罰ゲームに利用されていたとか。食べた人からの話では小倉が口直しになるとのこと。麺のほうが小倉よりも甘いそうです。ちなみに、マウンテンで食事することを「山に登る」、完食出来たら「登頂」、途中で断念したら「遭難」といいます。それにしても、いつ頃から全国に知られるようになったんでしょうかね。自分はまだ食べたことはありません。
名古屋の名物として挙げられるものでいつも不思議に思うのが「エビフライ」と「みそカツ」で、少なくとも子供の頃は、「エビフライ」は名物などではなかったし「みそカツ」を食べた覚えもないです。これもいつ頃からそうなったのか、不思議です。

「数学問題 bot」で前から悩んでした問題がようやく解けました。解けないとなると意地になってしまい、昨日と今日はこの問題のことばかり考えていた気がします。

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■ 自然数 n と m について、n² + m と n² - m がともに平方数であるなら、m は 24 で割り切れることを示せ (第24回シュプリンガー数学コンテスト)

n² + m = ( n + a )²
n² - m = ( n - b )²

とします。但し、b > 0, a > 0 とします。右辺を展開して整理すると、

n² + m = n² + 2na + a²
n² - m = n² - 2nb + b²

より

m = 2na + a²
m = 2nb - b²

なので、m について解くと

m = ab( a + b ) / ( b - a )

n について解くと

n = ( a² + b² ) / 2( b - a )
= [ ( b - a )² + 2ab ] / 2( b - a )
= ( b - a ) / 2 + ab / ( b - a )

となります。n の式から、a² + b² は偶数でなければ 2( b - a ) で割り切ることができないので、a, b はどちらも偶数または奇数となります。また、ab は b - a で割り切れる必要があり、a, b が両方とも奇数の場合、ab が奇数、b - a が偶数となるので、a, b はどちらも偶数である必要があります。そこで、a → 2a, b → 2b と置き換えて m, n を計算すると、

m = 2a・2b( 2a + 2b ) / ( 2b - 2a )
= 4ab( a + b ) / ( b - a )

n = ( 2b - 2a ) / 2 + 2a・2b / ( 2b - 2a )
= ( b - a ) + 2ab / ( b - a )

となります。n の式から、今度は 2ab が偶数であることから b - a も偶数である必要があるので b - a = 2c と置き換えると、

m = 4a( a + 2c )( 2a + 2c ) / 2c
= 4a( a + 2c )( a + c ) / c

n = 2c + 2a( a + 2c ) / 2c
= 2c + a( a + 2c ) / c

となります。n が整数となるためには、a/c, a/c + 2 のいずれかが整数となる必要があり、すなわち a が c で割り切れることになるので、a = kc として

m = 4kc( kc + 2c )( kc + c ) / c
= 4k( k + 1 )( k + 2 )c²

という結果が得られます。k, k + 1, k + 2 はいずれか一つが必ず 3 の倍数になり、少なくとも一つは偶数になるので、m は必ず 24 の倍数となります。

ところで、今までチャレンジした問題は数論が多いようです。特に選んでいるわけではないのですが、ほとんどパズルを解く感覚でやっているからでしょうか。今度は他のジャンルにも挑戦してみようと思います。  

最近、仕事が大変な状態でかなり疲れがたまっています。

「効率よく仕事しろ」 という言葉をよく聞きますが、個々人は効率よくこなしていこうとみんな努力してるんですよね。で、一番効率を悪くしているのが組織全体での決まりごと。とにかく誰が見ても明らかに効率が悪いのにそれが慣例化している。こういう企業は日本だけなんでしょうかね。

で、効率というキーワードでググってみたら、「仕事を効率良くこなすためのシンプルな 13 の習慣」というページを見つけました。古い記事ですが、役に立ちそうなことが列挙されています。すでに実践しているもの、何となくやっているものも含まれていますが、意識して仕事するようにするとまた違うかもしれませんね。もちろん、仕事だけではなくプライベートにも役に立ちそうです。

息抜きに「数学問題 bot」の問題を解いてみました。

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■ 2 以上の自然数 n に対し、n と n² + 2 がともに素数になるのは n = 3 の場合に限ることを示せ。( 06 京都前期・理 )

n が 3 以外の素数の時、n² + 2 が合成数であることを証明すれば十分です。

n は 3 以外の素数なので、3 で割った時の余りは 1 か 2 のいずれかになります。従って、余りが 1 ならば n - 1 が、余りが 2 ならば n + 1 が 3 で割り切れます。従って、

n² + 2 = ( n + 1 )( n - 1 ) + 3

より n² + 2 は必ず 3 で割り切れることになり、n² + 2 は合成数です。

古典数論の問題は、実際に具体的な数値で試してみると解法が見つかることが多いです。この問題でも、n に素数を代入していくと

5² + 2 = 27
7² + 2 = 51
11² + 2 = 123

となって、全て 3 で割り切れることがわかります。

例によって、答えのチェックはしていないので合っているという保証はありません。