Fussy's Diary

今日、テレビで喫茶「マウンテン」が紹介されてました。

他にはない奇抜なメニューで非常に有名な喫茶店ですが、20 年以上前からすでにその名は知られていて、近隣の学生(特に体育会系)に人気があったようです。小倉抹茶スパもその頃すでにあって、主に罰ゲームに利用されていたとか。食べた人からの話では小倉が口直しになるとのこと。麺のほうが小倉よりも甘いそうです。ちなみに、マウンテンで食事することを「山に登る」、完食出来たら「登頂」、途中で断念したら「遭難」といいます。それにしても、いつ頃から全国に知られるようになったんでしょうかね。自分はまだ食べたことはありません。
名古屋の名物として挙げられるものでいつも不思議に思うのが「エビフライ」と「みそカツ」で、少なくとも子供の頃は、「エビフライ」は名物などではなかったし「みそカツ」を食べた覚えもないです。これもいつ頃からそうなったのか、不思議です。

「数学問題 bot」で前から悩んでした問題がようやく解けました。解けないとなると意地になってしまい、昨日と今日はこの問題のことばかり考えていた気がします。

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■ 自然数 n と m について、n² + m と n² - m がともに平方数であるなら、m は 24 で割り切れることを示せ (第24回シュプリンガー数学コンテスト)

n² + m = ( n + a )²
n² - m = ( n - b )²

とします。但し、b > 0, a > 0 とします。右辺を展開して整理すると、

n² + m = n² + 2na + a²
n² - m = n² - 2nb + b²

より

m = 2na + a²
m = 2nb - b²

なので、m について解くと

m = ab( a + b ) / ( b - a )

n について解くと

n = ( a² + b² ) / 2( b - a )
= [ ( b - a )² + 2ab ] / 2( b - a )
= ( b - a ) / 2 + ab / ( b - a )

となります。n の式から、a² + b² は偶数でなければ 2( b - a ) で割り切ることができないので、a, b はどちらも偶数または奇数となります。また、ab は b - a で割り切れる必要があり、a, b が両方とも奇数の場合、ab が奇数、b - a が偶数となるので、a, b はどちらも偶数である必要があります。そこで、a → 2a, b → 2b と置き換えて m, n を計算すると、

m = 2a・2b( 2a + 2b ) / ( 2b - 2a )
= 4ab( a + b ) / ( b - a )

n = ( 2b - 2a ) / 2 + 2a・2b / ( 2b - 2a )
= ( b - a ) + 2ab / ( b - a )

となります。n の式から、今度は 2ab が偶数であることから b - a も偶数である必要があるので b - a = 2c と置き換えると、

m = 4a( a + 2c )( 2a + 2c ) / 2c
= 4a( a + 2c )( a + c ) / c

n = 2c + 2a( a + 2c ) / 2c
= 2c + a( a + 2c ) / c

となります。n が整数となるためには、a/c, a/c + 2 のいずれかが整数となる必要があり、すなわち a が c で割り切れることになるので、a = kc として

m = 4kc( kc + 2c )( kc + c ) / c
= 4k( k + 1 )( k + 2 )c²

という結果が得られます。k, k + 1, k + 2 はいずれか一つが必ず 3 の倍数になり、少なくとも一つは偶数になるので、m は必ず 24 の倍数となります。

ところで、今までチャレンジした問題は数論が多いようです。特に選んでいるわけではないのですが、ほとんどパズルを解く感覚でやっているからでしょうか。今度は他のジャンルにも挑戦してみようと思います。