2015年03月11日
今日は 3 月 11 日 ...
東日本大震災から四年が経過しました。
阪神・淡路大震災のときは早朝に家で、東日本大震災のときは会社で電話中に揺れを感じました。どちらも後でテレビを通じて被害の大きさに気づいたんですよね。原発の事故の様子を見た時は本当に恐ろしかったです。原発の廃炉への道のりは、まだまだかなり長く険しいようです。こんな状況でも原発を推進しようとするというのはやはり考えられないです。
NHK東日本大震災アーカイブス ( http://www9.nhk.or.jp/311shogen/ )
久々に、数学の問題に挑戦。京大の入試問題です。「誘導略」なので全然違う解き方をしているのかもしれません。また、合っている保証もないです。
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■ a, b を互いに素な自然数とする。a は奇数とする。自然数 n に対して 整数an, bn を ( a + b√2 )n = an + bn√2 を満たすように定めるとき、an と bn は互いに素であることを示せ( 2009 年京大理系乙誘導略 )
( an + bn√2 )( a + b√2 ) = ( a・an + 2b・bn ) + ( b・an + a・bn )√2 より
an+1 = a・an + 2b・bn
bn+1 = b・an + a・bn
が成り立ちます。an, bn が共通の因数 c を持つならば、an+1, bn+1 も同じ共通の因数 c を持つことになるので、ある値 n で an, bn が互いに素でなくなったら、N > n の任意の N でも an, bn は互いに素ではなくなります。
ところが、an, bn が互いに素であるとき、
( an + bn√2 )2 = ( an2 + 2bn2 ) + 2anbn√2 より
a2n = an2 + 2bn2
b2n = 2anbn
なので、an が奇数ならば an2 と 2bn2 には公約数はなく、a2n は 2, an, bn それぞれの素因数を約数として持ちません。逆に、2anbn は 2, an, bn それぞれの素因数の積しか約数にならないので、a_2n, b_2n は互いに素です。特に、n = 1 のときは a1 = a, b1 = b は互いに素なので、n = 2k ( k は整数 ) ならば an, bn は互いに素です。よって、ある値 N > n の任意の N で互いに素でなくなるという仮定に矛盾することになり、an, bn は常に互いに素でなければなりません。
最後に、n = 1 のとき a は奇数、an が奇数のとき an+1 = a・an + 2b・bn で、右辺の第一項は a, an が奇数なので奇数、第二項は偶数で、その和は奇数なので、an+1 は奇数です。従って、帰納法により任意の n に対して an は奇数となり、これで全て証明できました。
阪神・淡路大震災のときは早朝に家で、東日本大震災のときは会社で電話中に揺れを感じました。どちらも後でテレビを通じて被害の大きさに気づいたんですよね。原発の事故の様子を見た時は本当に恐ろしかったです。原発の廃炉への道のりは、まだまだかなり長く険しいようです。こんな状況でも原発を推進しようとするというのはやはり考えられないです。
NHK東日本大震災アーカイブス ( http://www9.nhk.or.jp/311shogen/ )
久々に、数学の問題に挑戦。京大の入試問題です。「誘導略」なので全然違う解き方をしているのかもしれません。また、合っている保証もないです。
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■ a, b を互いに素な自然数とする。a は奇数とする。自然数 n に対して 整数an, bn を ( a + b√2 )n = an + bn√2 を満たすように定めるとき、an と bn は互いに素であることを示せ( 2009 年京大理系乙誘導略 )
( an + bn√2 )( a + b√2 ) = ( a・an + 2b・bn ) + ( b・an + a・bn )√2 より
an+1 = a・an + 2b・bn
bn+1 = b・an + a・bn
が成り立ちます。an, bn が共通の因数 c を持つならば、an+1, bn+1 も同じ共通の因数 c を持つことになるので、ある値 n で an, bn が互いに素でなくなったら、N > n の任意の N でも an, bn は互いに素ではなくなります。
ところが、an, bn が互いに素であるとき、
( an + bn√2 )2 = ( an2 + 2bn2 ) + 2anbn√2 より
a2n = an2 + 2bn2
b2n = 2anbn
なので、an が奇数ならば an2 と 2bn2 には公約数はなく、a2n は 2, an, bn それぞれの素因数を約数として持ちません。逆に、2anbn は 2, an, bn それぞれの素因数の積しか約数にならないので、a_2n, b_2n は互いに素です。特に、n = 1 のときは a1 = a, b1 = b は互いに素なので、n = 2k ( k は整数 ) ならば an, bn は互いに素です。よって、ある値 N > n の任意の N で互いに素でなくなるという仮定に矛盾することになり、an, bn は常に互いに素でなければなりません。
最後に、n = 1 のとき a は奇数、an が奇数のとき an+1 = a・an + 2b・bn で、右辺の第一項は a, an が奇数なので奇数、第二項は偶数で、その和は奇数なので、an+1 は奇数です。従って、帰納法により任意の n に対して an は奇数となり、これで全て証明できました。
