Fussy's Diary

AI を使って東大入試に合格させようというプロジェクトが話題になってます。

学習アルゴリズムや分散処理技術の発達で、今やかなり専門的な分野にまでコンピュータが利用できる範囲が及んでいるように思います。メディアで話題になっていたのが将棋プログラムで、あれもひと昔前までは人間に勝つことは不可能とまで言われていたのに、今ではプロの棋士も打ち負かしてしまうというのはすごいものです。SF の世界にあるような、人工知能が暴走して人間を襲うようになることが将来起こらないことを祈ります。いや、本当に。

人工知能に負けないよう、今回もちょっとした問題を解いてみました。「数学問題bot」から今回は千葉大の問題です。パズルを解くような感じの問題でした。

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■ 自然数 a, b, c, d は c = 4a + 7b, d = 3a + 4b を満たしているものとする。1) c + 3d が 5 の倍数ならば 2a + b も 5 の倍数であることを示せ。2) a と b が互いに素で、c と d がどちらも素数 p の倍数ならば p = 5 であることを示せ(09千葉大前期)

1)

c + 3d
= ( 4a + 7b ) + 3( 3a + 4b )
= 13a + 19b
= 5( 3a + 4b ) - ( 2a + b ) より

右辺がが 5 の倍数になるためには 2a + b が 5 の倍数にならなければなりません。

2)

3c - 4d = 5b
4c - 7d = -5a

で、c, d は p を共通因数にもつので、5b と -5a も p の倍数です。ところが a, b は互いに素なので、5b と 5a は 5 以外に共通因数を持ちません。従って p = 5 でなければなりません。

例によって合っているという保証なしです。