Fussy's Diary

立春が過ぎました。暦の上では春ですね。
この間の寒波からまた一転して、朝でも強烈な寒さというのは少なくなったような気がします。それでもやはり寒いですけど。

久々に数学問題にチャレンジしました。かなり前に「数学問題bot」で拾った問題です。毎度のように、合っている保証なしです。

-----

n 枚の 100 円玉と n + 1 枚の 500 円玉を同時に投げたとき、表の出た 100 円玉の枚数より表の出た 500 円玉の枚数の方が多い確率を求めよ ( 05 京都 )

まず、すべての場合の数は 2²ⁿ⁺¹ になります。n 枚の 100 円玉がすべて表だったとき、500 円玉の方が表の出た数が多くなるのは n + 1 枚全てが表だった時に限るので、それは _n+1C_n+1 = 1 通りのみとなります。1 枚減って n - 1 枚の 100 円玉が表なら、n 枚か n + 1 枚の 500 円玉が表なら成り立つので、n 枚の 500 円玉が表の場合の数を考えるとそれは _n+1C_n = n + 1 通りで、n + 1 枚の 500 円玉が表の場合と併せて n + 2 通りになります。このように順番に考えると、k 枚の 100 円玉が表なら、k - 1 枚が表だったときの結果に _n+1C_k 通りを加算した場合の数だけ成り立つことがわかります。これを図に書いてみると

	500円玉
100円玉	n+1	n	n-1	...	2	1	0
n	n+1Cn+1	0	0	...	0	0	0
n-1	n+1Cn+1	n+1Cn	0	...	0	0	0
n-2	n+1Cn+1	n+1Cn	n+1Cn-1	...	0	0	0
:
1	n+1Cn+1	n+1Cn	n+1Cn-1	...	n+1C2	0	0
0	n+1Cn+1	n+1Cn	n+1Cn-1	...	n+1C2	n+1C1	0

となります。500 円玉のみでの全ての場合の数は 2ⁿ⁺¹ となります。さらに、上の表をよく見ると、値のある部分とゼロの部分でちょうど半分ずつになっていることがわかります。このとき、_NC_K = _NC_N-K なので、例えば、0 枚、n 枚の 100 円玉が表の場合に成り立つ場合の数を足すとちょうど 2ⁿ⁺¹ に等しくなります。また、0 枚、n 枚の 100 円玉が表になる場合の数はどちらも 1 通りなので、このときの場合の数は合計で 2ⁿ⁺¹ です。同様の考え方から、1 枚、n - 1 枚の 100 円玉が表になるときは合計が 2ⁿ⁺¹ x n、もっと一般的に、k 枚、n - k 枚の 100 円玉が表になるときは合計が 2ⁿ⁺¹ x _nC_k です。つまり、求めたい場合の数の総計は、

Σ_k{0→n}( 2ⁿ⁺¹ x _nC_k ) / 2 = 2ⁿΣ_k{0→n}( _nC_k ) = 2²ⁿ

です。よって、求める確率は

2²ⁿ / 2²ⁿ⁺¹ = 1 / 2

になります。n = 2 の場合で検算してみると、100 円玉を a, b、500 円玉を C, D, E で表して、すべての場合を調べれば

a	b	C	D	E	結果
					×
		表			○
			表		○
				表	○
		表	表		○
		表		表	○
			表	表	○
		表	表	表	○
表					×
表		表			×
表			表		×
表				表	×
表		表	表		○
表		表		表	○
表			表	表	○
表		表	表	表	○
	表				×
	表	表			×
	表		表		×
	表			表	×
	表	表	表		○
	表	表		表	○
	表		表	表	○
	表	表	表	表	○
表	表				×
表	表	表			×
表	表		表		×
表	表			表	×
表	表	表	表		×
表	表	表		表	×
表	表		表	表	×
表	表	表	表	表	○

となって、ちゃんと 1/2 になります。

ところで、さらりと

Σ_k{0→n}( 2ⁿ⁺¹ x _nC_k ) / 2 = 2ⁿΣ_k{0→n}( _nC_k ) = 2²ⁿ

と書きましたが、これは

Σ_k{0→n}( _nC_k ) = 2ⁿ

であることを利用しています。この式の一般化は

Σ_k{0→n}( _nC_ka^kb^n-k ) = ( a + b )ⁿ

で「二項定理」と呼ばれています。「パスカルの三角形」としても有名ですね。二項式の係数が組み合わせの値で表せるので、組み合わせは二項係数ともいいます。この定理、いつどこで習ったのか、そもそも学校で習ったのか全く記憶がないのですが、結構重要な定理なので、ぜひとも覚えておいたほうがいいですよ。特に受験生の方は。ちなみに自分が高校生の頃、この定理を知っていたかどうか定かではないんですよね。

それから、この問題はもしかしたら帰納法でも解けるかもしれません。暇な時に試してみようかと思います。