Fussy's Diary

昨日はちょっとした飲み会があって出掛けていました。

サンルイスという南米料理が主体の店ですが、なぜか焼酎をボトルで頼むという普通の居酒屋と同じことをしていました。エビのガーリックオイル煮、おいしかったです。

「数学問題bot(個人用)」からこんな問題をチョイス。

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p, q は異なる自然数とする。また a を正の定数(自然数)とする。1/p, 1/a, 1/q がこの順に等差数列になることはあるか ( 2013 年京大 OP )

等差数列になるには 1/a - 1/p = 1/q - 1/a となる必要があります。この式を変形すると

1/p + 1/q = 2/a より a( p + q ) = 2pq

となります。p, q の最大公約数を G とし、p = p'G, q = q'G とすると、aG( p' + q' ) = 2p'q'G² G ≠ 0 より

a( p' + q' ) = 2p'q'G

です。p', q' は互いに素なので、p', q' のどの素因数とも p' + q' は割り切れません。従って、a は p'q' で割り切れなくてはなりません。a に対してそのような数を見つけ、G を掛ければ目的の p, q を生成することができます。
ここで、右辺は 2 を係数として持つので、左辺は偶数です。a が奇数の場合は p', q' はどちらも奇数となるので、p' + q' は偶数となり問題はありません。a が偶数の場合、a/2 から　p', q' を生成しなければなりません。

例として、a = 100 のとき、a/2 = 50 なので p' = 5, q' = 2 とすると、

(左辺) = 100( 5 + 2 ) = 700
(右辺) = 2・5・2G = 20G

より G = 35 になり、p = 175, q = 70 と求められます。このとき、

1 / 100 - 1 / 175 = ( 7 - 4 ) / 700 = 3 / 700
1 / 70 - 1 / 100 = ( 10 - 7 ) / 700 = 3 / 700

となるので等差数列となっています。a が素数の場合、例えば a = 7 のとき、p' = 7, q' = 1 とすれば

(左辺) = 7( 7 + 1 ) = 56
(右辺) = 2・7・1G = 14G

より G = 4 になり、p = 28, q = 4 とすれば、

1 / 7 - 1 / 28 = ( 4 - 1 ) / 28 = 3 / 28
1 / 4 - 1 / 7 = ( 7 - 4 ) / 28 = 3 / 28

で等差数列となります。