Fussy's Diary

美味しいはちみつを求めて、通販限定のお試しセットを買ってみました。
いくつかある中で、フランス産のラベンダーはちみつがなかなかにおいしかったので追加で購入しました。パンやヨーグルトにかけて使ってます。それにしても、花の種類によって味や食感も様々ですね。モカコーヒーのはちみつはにおいにかなり癖があってちょっと無理でした。あと試していないのはそばのはちみつですが、これもいつか食べてみたいです。はちみつを使った簡単なレシピがあればそれも試してみたいですね。

「数学問題bot(個人用)」から昔に拾った問題を解いてみました。合っている保証なしです。

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4 つの正数 a, b, c, d について a = b = c = d でないならば、4 つの数 a( 1 - b ), b( 1 - c ), c( 1 - d ), d( 1 - a ) のうち少なくとも 1 つは 1 / 4 より小さいことを証明せよ ( 1978 年東京理科大 )

まず、4 つの数が 1 / 4 以上だと仮定します。このとき、a( 1 - b ) ≥ 1 / 4 > 0 で a > 0 なので、1 - b > 0 となり、0 < b < 1 が成り立ちます。
同様に他の数 a, c, d についてもこれは成り立ちます。
4 つの数の和を計算すると、

a( 1 - b ) + b( 1 - c ) + c( 1 - d ) + d( 1 - a )
= ( a + b + c + d ) - ( ab + bc + cd + da )
= ( a + c ) + ( b + d ) - ( a + c )( b + d )
= ( a + c - 1 )( 1 - b - d ) + 1

で、これは仮定より 1 以上となるので、

( a + c - 1 )( b + d - 1 ) ≤ 0

が成り立ちます。これが成り立つためには、

i) a + c ≤ 1 かつ b + d ≥ 1
ii) a + c ≥ 1 かつ b + d ≤ 1

のいずれかを条件として満たす必要があります。i) のときは、a ≤ 1 - c かつ 1 - b ≤ d なので、設問の前提条件も併せれば

1 / 4 ≤ a( 1 - b ) ≤ d( 1 - c )

となります。また、c ≤ 1 - a かつ 1 - d ≤ b とも変形できるため、

1 / 4 ≤ c( 1 - d ) ≤ b( 1 - a )

ともなります。1 / 4 ≤ b( 1 - a ) より b ≥ 1 / 4( 1 - a ) を 1 / 4 ≤ a( 1 - b ) に適用して

1 / 4 ≤ a( 1 - b ) ≤ a[ 1 - 1 / 4( 1 - a ) ]

1 - a > より両辺に 4( 1 - a ) を掛ければ

1 - a ≤ a[ 4( 1 - a ) - 1 ] = -4a² + 3a

式を整理して 4a² - 4a + 1 ≤ 0 より ( 2a - 1 )² ≤ 0 なので、これを満たす実数は 1 / 2 しかありません。
このとき、1 / 4 ≤ ( 1- b ) / 2 かつ 1 / 4 ≤ b / 2 が成り立つ必要があるので b = 1 / 2 になります。さらに、ii) の条件から同様の手順で c = d = 1 / 2 となり、a = b = c = d = 1 / 2 となります。

従って、その対偶である設問の命題が証明されました。