Fussy's Diary

昨日は 5 時に起床しました。

空はまだ真っ暗でしたが、月がキレイだったので撮影してみました。撮影すると何となくショボくなりますね。



そして今日は日曜日ですが、5 時半に目が覚めてしまいました。空はだいぶ明るくなっていましたが、まだ月は見えていたのでまたカメラで撮影。



こうやって見ると、月の満ち欠けって結構早いんですね。それにしても、明け方はまだ寒いです。

「数学問題bot(個人用)」から今回は東大の入試問題にチャレンジ。なぜか最初の問題で大苦戦して何日間か悩んでいました。なお、合っている保証なしです。

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p, q は実数の定数で、0 < p < 1, q > 0 を満たすとする。関数

f(x) = ( 1 - p )x + ( 1 - x )( 1 - e^-qx )

を考える。

以下の問いに答えよ。必要であれば、不等式 1 + x ≤ e^x が全ての実数 x に対して成り立つことを証明なしに用いてよい。

(1) 0 < x < 1 のとき、0 < f(x) < 1 であることを示せ。

(2) x₀ は 0 < x₀ < 1 を満たす実数とする。数列 {x_n} の各項 x_n ( n = 1, 2, ... ) を、

x_n = f(x_n-1)

によって順次定める。p > q であるとき、

lim{n→∞} x_n = 0

となることを示せ。

(3) p < q であるとき、

c = f(c), 0 < c < 1

を満たす実数 c が存在することを示せ。

(東京大・2014・前・理)

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(1) f(x) の変数を q として f(q) の軌跡を考えます。

f(0) = ( 1 - p )x で 0 < 1 - p < 1 かつ 0 < x < 1 なので 0 < f(0) < 1 となります。
また、q → ∞ のとき f(q) → ( 1 - p )x + ( 1 - x ) = 1 - px なのでやはり 0 < lim{q→∞} f(q) < 1 となります。

f'(q) = q( 1 - x )e^-qx で q > 0 より任意の q に対して f'(q) > 0 となり、f(q) は単調増加となります。従って、命題が成り立ちます。

(2) (1) より、0 < x₀ < 1 ならば任意の n に対して 0 < x_n < 1 が成り立ちます。
1 - qx ≤ e^-qx より 1 - e^-qx ≤ qx なので、x_n = f(x_n-1) ≤ ( 1 - p )x_n-1 + qx_n-1( 1 - x_n-1 ) が成り立ち、

x_n-1 - x_n ≥ x_n-1 - [ ( 1 - p )x_n-1 + qx_n-1( 1 - x_n-1 ) ]
= x_n-1( p - q + qx_n-1 )

より p > q ならば x_n-1 - x_n > 0 となるので { x_n } は単調減少となります。f(0) = 0 であることから { x_n } は必ず 0 に収束し、lim{n→∞} x_n = 0 が成り立ちます。

(3) g(x) = f(x) - x とします。このとき、

g(x) = -px + ( 1 - x )( 1 - e^-qx )

なので、g(0) = 0、g(1) = -p < 0 となります。従って、g'(0) > 0 になるなら、0 < c < 1 かつ g(0) = 0 を満たす実数 c が存在します。

g'(x) = -p - ( 1 - e^-qx ) + qe^-qx( 1 - x ) より g'(0) = -p + q なので、p ≤ q ならば g'(0) > 0 です。従って、g(0) = c を満たす実数 c が存在し、f(c) = g(c) + c = c より命題が成り立ちます。