Fussy's Diary

今日は風の強い日ですね。

今更ながら God of War 2 のタイタンモードに挑戦しています。かなり昔にテセウス戦までは何とかクリアして、バーバリアン・キング前でやめてしまっていました。ちょっとやってみようかと思い、苦戦の末、バーバリアン・キングとエウリュアレまで何とか倒して、ロック・ミノタウロス + ハーピー極悪コンビに倒されまくってます。時間のあるときに少しずつ進めようと考えてます。このゲーム、イージーやノーマルなら戦闘は苦戦することなく、逆に謎解きが大変でした。ハード以降はガラリと変わり、戦闘が非常にきついです。特にタイタンモードはハードすら楽に思えるくらいきつく、何度死んだかわかりません。でも、攻略法などを参考にすればアクションが下手でも何とか進められます。後半はどうなるかわかりませんが。昔のゲームですが、今でもベストゲームの一つです。

今年の名古屋大入試から、今回は文系の問題です。なぜか個人的には文系の問題の方に苦戦しました。例によって合っている保証なしです。

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n を正の整数とし、k を 1 ≤ k ≤ n + 2 を満たす整数とする。n + 2 枚のカードがあり、そのうちの 1 枚には数字 0 が、他の 1 枚には数字 2 が、残りの n 枚には数字 1 が書かれている。この n + 2 枚のカードのうちから無作為に k 枚のカードを取り出すとする。このとき、次の問に答えよ。
(1) 取り出した k 枚のカードに書かれているすべての数字の積が 1 以上になる確率を求めよ。
(2) 取り出した k 枚のカードに書かれているすべての数字の積が 2 となる確率 Q_n(k) を求めよ。
(3) 与えられた n に対して、確率 Q_n(k) が最大となる k の値と、その最大値を求めよ。

(1) 積が 0 になるのは、0 のカードが k 枚の中に含まれた時で、その確率は

1 / ( n + 2 ) + [ ( n + 1 )( n + 2 ) ]・[ 1 / ( n + 1 ) ] + ... + [ ( n + 1 ) / ( n + 2 ) ]・[ n / ( n + 1 ) ]・ ... ・[ 1 / ( n - k + 3 ) ] = k / ( n + 2 )

となるので、その余事象である 1 以上となる確率は

1 - k ( n + 2 ) = ( n - k + 2 ) / ( n + 2 )

となります。

(2) 1 のカードだけが含まれる確率は、n + 2 枚のカードから k 枚を選択する場合の数 _n+2C_k で、0, 1 を除いた n 枚のカードから k 枚を選択する場合の数 _nC_k で割った値で、

_nC_k / _n+2C_k
= [ n! / k!・( n - k )! ] / [ ( n + 2 )! / k!・( n + 2 - k )! ]
= ( n - k + 2 )( n - k + 1 ) / ( n + 1 )( n + 2 )

となります。数字の積が 2 となるのは、1 以上になる事象から 1 になる事象、すなわち 1 のカードのみを含んだ事象を除けばよいので、

Q_n(k) = ( n - k + 2 ) / ( n + 2 ) - ( n - k + 2 )( n - k + 1 ) / ( n + 1 )( n + 2 ) = k( n - k +2 ) / ( n + 1 )( n + 2 )

となります。

(3) n は定数なので、f(k) = k( n - k +2 ) の最大値を求めれば十分です。

f(k) = -[ k - ( n + 2 ) / 2 ]² + ( n + 2 )² / 4 より、f(k) は k = ( n + 2 ) / 2 のとき最大となります。

n が偶数なら k = ( n + 2 ) / 2 のとき最大で、Q_n(k) = [ ( n + 2 )² / 4 ] / ( n + 1 )( n + 2 ) = ( n + 2 ) / 4( n + 1 )

n が奇数なら k = ( n + 1 ) / 2, ( n + 3 ) / 2 のとき最大で、

Q_n(k) = [ ( n + 1 )( n + 3 ) / 4 ] / ( n + 1 )( n + 2 ) = ( n + 3 ) / 4( n + 2 )

となります。