Fussy's Diary

今週も半分終わりました。残り二日。しかし、すでにヘトヘトです。
しかし、ここを乗り切れば連休ですね。

久々に「数学問題集」から問題を解いてみました。今回はわりと簡単 ?

-----

■ x は 0 でない実数。a を a ≤ x < a + 1 なる整数とし x = a + b とする。ab = 127( a + b ) が成立するとき、x の値を求めよ ( 09 早稲田・商 )

a = 0 ならば 0・b = 127( 0 + b ) より b = 0 で x = 0 となるので、a ≠ 0 になります。また b = 0 の時も同様のやり方で x = 0 となるので b ≠ 0 になります。よって ab ≠ 0 なので、両辺に 127 / ab を掛けると

1 / a + 1 / b = 1 / 127

です。0 < b < 1 より 1 / b > 1 なので、上式が成り立つためには a < 0 である必要があります。a = -n ( n は 1 以上の整数 ) として、上式を以下のように変形します。

1 / b = 1 / 127 + 1 / n = ( n + 127 ) / 127n

よって

b = 127n / ( n + 127 )

b < 1 が成り立つときの n は 1 の場合 ( つまり a = -1 ) のみであり、このとき b = 127 / 128 になります。従って、

x = a + b = -1 + 127 / 128 = -1 / 128

となります。

-----

検算すると正しいので正解とは思いますが、例によって保証はないです。