Fussy's Diary

6 月に入りました。

このところ、少し涼しい日が続いています。というよりその前の暑さが異常なのかもしれません。このまま梅雨に入るのでしょうかね。今度はゲリラ豪雨が心配です。

「数学問題bot‏」から久々に問題を解いてみました。もっとエレガントな解法があると思いますが、力づくで解いてます。例によって合っている保証はありません。

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4 桁の整数で，その下 2 桁の数と上 2 桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ ( 78 群馬大 )

上 2 桁を x ( 10 ≤ x < 100 )、下 2 桁を y ( 0 ≤ x < 100 ) とすると、

( x + y )² = 100x + y

が成り立てばいいので、上式を x について解くと

x = -( y - 50 ) ± ( 2500 - 99y )^1/2

となります。2 項目の根号内はゼロ以上でなければならないので、 0 ≤ y ≤ 25 という制限が追加されます。また、2 項目は整数でもなければならないので、根号内の数 2500 - 99y は平方数でもなければなりません。

2500 - 99y = 100( 25 - y ) + y

なので、y を 0 から 25 まで変化させて得られる数は上 2 桁が 25 - y、下 2 桁が y で表される 26 個の数となります。これを一つずつ平方数か調べていくわけですが、ここで次の手法を使います。

(1) 2 で割れて 4 で割れなければ平方数ではないので除外。4 で割れる場合、4 で割ってさらに 2 で割れるが 4 では割れなければやはり除外。
(2) 5 で割れて 25 で割れなければ平方数ではないので除外。

これに該当しない数は平方数であるかどうかを直接チェックします。

2500 = 50²
2401 = 49²
2302 (1) に該当 ×
2203 46² = 2116 と 47² = 2209 の間なので×
2104 (1) に該当 ×
2005 (2) に該当 ×
1906 (1) に該当 ×
1807 41² = 1681 と 42² = 1849 の間なので×
1708 4 で割って 427。 21² = 421 と 22² = 484 の間なので×
1609 40² = 1600 と 41² = 1681 の間なので×
1510 (1) に該当 ×
1411 37² = 1369 と 38² = 1444 の間なので×
1312 4 で 2 回割れて 82。9² = 81 と 10² = 100 の間なので×
1213 34² = 1156 と 35² = 1225 の間なので×
1114 (1) に該当 ×
1015 (2) に該当 ×
916 4 で割って 229。15² = 225 と 16² = 256 の間なので×
817 28² = 784 と 29² = 844 の間なので×
718 (1) に該当 ×
619 24² = 576 と 25² = 625 の間なので×
520 4 で割って 130。11² = 121 と 12² = 144 の間なので×
421 20² = 400 と 21² = 441 の間なので×
322 (1) に該当 ×
223 14² = 196 と 15² = 225 の間なので×
124 4 で割って 31。5² = 25 と 6² = 36 の間なので×
25 = 5²

従って、y の候補としては 25, 1, 0 の三つあります。

y = 25 のとき x = 25 ± 5 = 30, 20 なので、3025, 2025 が条件を満たす数となります。y = 1 のとき x = 49 ± 49 = 98, 0 なので、9801 が条件を満たす数となります。最後の y = 0 のときは x = 50 ± 50 = 100, 0 なので、条件を満たす数はありません。

よって、条件を満たす数は 2025, 3025, 9801 の三つとなります。