Fussy's Diary

少し前から、クラスタリングの勉強を始めてます。昔に覚えた手法も含めてもう一度基礎からやり直しで、ようやく少しずつ理解が進んできた感じです。で、SOM ( 自己組織化写像 ) のサンプル・プログラムを作成したのですが、思ったような結果が得られず苦戦しています。いつ頃公開できるかは未定ですが、とりあえず次のテーマはこのあたりにするつもりです。

数学問題bot から拾った問題です。例によって合っている保証はありません。

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n を 2 以上の整数とする。1 つのサイコロを n 回投げ、第 1 回目から第 n 回目までに出た目の最大公約数を G とする。G の期待値を n の式で表せ ( 07 大阪 )

サイコロを n 回投げたときの目の並べ方は 6ⁿ 通りあります。その中で G = 2 となるのは、目が 2, 4, 6 のいずれかで、全ての目が 4 のみまたは 6 のみの場合を除いたときなので、その並べ方は 3ⁿ - 2 通りになります。同様に、G = 3 となるのは目が 3, 6 のいずれかで、すべての目が 6 のみの場合を除いたときなのでその並べ方は 2ⁿ - 1 通りです。G = 4, 5, 6 になるのは、それぞれ目が 4, 5, 6 のみの場合だけなので各々 1 通りのみで、残りは G = 1 の場合で 6ⁿ - ( 3ⁿ - 2 ) - ( 2ⁿ - 1 ) - 3 = 6ⁿ - 3ⁿ - 2ⁿ 通りになります。従って G の期待値は

[ 2・( 3ⁿ - 2 ) + 3・( 2ⁿ - 1 ) + 4 + 5 + 6 + ( 6ⁿ - 3ⁿ - 2ⁿ ) ] / 6ⁿ
= ( 3ⁿ + 2ⁿ⁺¹ + 6ⁿ + 8 ) / 6ⁿ
= ( 1 / 2 )ⁿ + 2( 1 / 3 )ⁿ + 8( 1 / 6 )ⁿ + 1

となります。n → ∞ のとき期待値が 1 に収束するのは、一回でも 1 の目が出れば G = 1 となることからも納得のできる結果です。