Fussy's Diary

七月になりました。もう今年も半分終わったんですね。
そしてこれから本格的に夏が始まります。一番好きな季節です。暑いのはイヤですが。

しかし、今年は雨が多いような気がします。気温もそんなに高くはないし、例年よりは過ごし易いのではないかと感じています。これくらいの状態が続いてくれればかなり楽なんですけどね。いや、大雨だけは勘弁してほしいですが。

久しぶりに「数学問題bot」から京大の問題に挑戦。

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Q(x)を2次式とする。整式P(x)はQ(x)では割り切れないが、[P(x)]^2はQ(x)で割り切れるという。このとき二次方程式Q(x)=0は重解を持つことを示せ（０６京都）

Q(x) = 0 の解を x = a, b とします。但し a, b は複素数までの範囲を取るものとします。

a ≠ b と仮定します。P(x) は Q(x) で割り切れないので、x = a, b のいずれかを P(x) = 0 の解として持たない、すなわち P(a) ≠ 0 または P(b) ≠ 0 が成り立つことになります。このとき、[P(a)]^2 = 0 と [P(b)]^2 = 0 が同時に成り立つことはなく、x - a, x - b のいずれかを因子として持たないことになり、Q(x) では割り切れません。よって、Q(x) = 0 が重解を持たないとき、P(x) が Q(x) で割り切れず、同時に [P(x)]^2 が Q(x) で割り切れるということはありません。その対偶として P(x) が Q(x)で割り切れず、[P(x)]^2 が Q(x)で割り切れる場合は Q(x) = 0 が重解を持つ時しかありません。

具体的には、P(x) が Q(x) = 0 の重解を一つだけ持つ場合、P(x) が Q(x) で割り切れず [P(x)]^2 が Q(x)で割り切れます。

実は解いてみた後で結果が当たり前のような気がして、何かとんでもない勘違いをしているのではないかと思い、今回は他のサイトで回答を探してみました。一応、合ってはいるようですが、もっとわかりやすい方法で解いていたのも見つけたので、あまり模範的な解き方ではないようです。