Fussy's Diary

早いもので、もう今年も半分が終わりました。

まだ梅雨も終わっていないのにやたらと暑い日が続きます。暑いだけならいいですが、湿度も高いので非常につらいですね。
今日も大雨でした。すぐには止みましたが、とても梅雨とは思えない豪雨でした。明日も雨なのでしょうか。憂うつです。

そういえば、蚊を 2 回も部屋の中で見つけました。いずれも退治し損ねました。あの羽音だけはどうにも我慢できません。しばらくはまた悩まされることになるんですね。

数学問題bot(個人用)からこんな問題を選んでみました。

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3 以上の任意の整数 n において、n < p < n! を満たす素数 p が少なくともひとつ存在することを示せ ( 1997 京都教育大 )

n = 3 のとき、3 < p < 3! = 6 を満たす素数 p として 5 があります。
n までの任意の整数に対して n < p < n! を満たす素数 p が少なくともひとつ存在すると仮定します。n + 1 に対して、n < n + 1 ≤ p < n! < ( n + 1 )! より p ≠ n + 1 ならば n + 1 < p < ( n + 1 )! を満たす素数 p が少なくともひとつ存在することになります。p = n + 1 のとき、素数 p に対して p < q < p! を満たす別の素数 q が少なくともひとつ存在することを証明すればいいことになります。
p! は 2 から p までのすべての数の積なので、特に p 以下のすべての素数で割り切れます。従って、 p! - 1 は p 以下のすべての素数に対して割り切ることができず、必ず -1 余ります。つまり、p! - 1 は p より大きな素数からなる積か、素数そのものであることになり、p < q < p! を満たす別の素数 q が少なくともひとつ存在することになります。よって、命題が成り立つことが証明されました。