Fussy's Diary

11 月も半ばを過ぎて、もう今年も残り少なくなってきました。早いものです。

そろそろコタツの恋しい時期になってきました。昨日は雨が降っていたこともあって寒い一日でしたが、今日は比較的暖かくてコタツを出すには微妙ということでまだ出してはいません。部屋がそんなに広くはないのでコタツを出すと一気に場所が狭くなり、掃除するのも面倒になります。なので、いつも寒くてどうしようもなくなってきた年末ギリギリに出しています。今年も結局はそうなるかもしれません。

かなり前に、机の下に置いて利用できるタイプの小さなコタツを通販サイトで見つけたことがあります。足元さえ暖かければ上半身が冷えていてもさほど苦ではないので、いいのが見つかれば買ってみようかとも考えています。しかし家の机は木製で、しかも裏側は引き出しがむき出しの状態なので、裏側に取り付けるタイプのデスク・ヒーターは使えないんですよね。かなりモノが絞り込まれる気がします。

「数学問題 bot ( 個人用 )」からの出題です。例によって合っている保証はありません。

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4 つの正数 a, b, c, d について a = b = c = d でないならば、4 つの数 a( 1 - b ), b( 1 - c ), c( 1 - d ), d( 1 - a ) のうち少なくとも 1 つは 1 / 4 より小さいことを証明せよ ( 1978 年東京理科大 )

a, b, c, d のうち一つでも 1 以上ならば、4 つの数のうち少なくとも一つはゼロ以下になるので、a, b, c, d は 1 より小さい場合を考えればいいことになります。また、このとき 4 つの数が 1 / 4 以上になるためには ( a, b, c, d は 1 より小さいので ) 1 - a, 1 - b, 1 - c, 1 - d は 1 / 4 より大きくなければなりません。従って、a, b, c, d は 3 / 4 より小さいことになります。

今、a( 1 - b ), b( 1 - c ), c( 1 - d ) は全て 1 / 4 以上であると仮定します。このとき、

a( 1 - b ) ≥ 1 / 4 より 1 - a ≤ 1 - 1 / 4( 1 - b )
c( 1 - d ) ≥ 1 / 4 より d ≤ 1 - 1 / 4c = ( 4c - 1 ) / 4c
b( 1 - c ) ≥ 1 / 4 より 1 / 4( 1 - b ) ≥ ( 1 - c ) / [ 4( 1 - c ) - 1 ]

が成り立ちます。よって、

1 - a ≤ 1 - 1 / 4( 1 - b ) ≤ 1 - ( 1 - c ) / [ 4( 1 - c ) - 1 ] = ( 3c - 2 ) / ( 4c - 3 )

であり、これらの結果から

d( 1 - a ) ≤ ( 4c - 1 )( 3c - 2 ) / 4c( 4c - 3 )

となります。

f(c) = ( 4c - 1 )( 3c - 2 ) / 4c( 4c - 3 ) - 1 / 4 とすると、右辺を整理することで f(c) = ( 2c - 1 )² / 2c( 4c - 3 ) となります。よって、c < 3 / 4 のとき f(c) ≤ 0 であり、等号は c = 1 / 2 のときに成り立ちます。

d( 1 - a ) = 1 / 4 のとき f(c) = 0 でなければならないので c = 1 / 2 になります。このとき b( 1 - c ) ≥ 1 / 4 より b ≥ 1 / 2 となります。また、c( 1 - d ) ≥ 1 / 4 より d ≤ 1 / 2 であり、d( 1 - a ) = 1 / 4 より a ≤ 1 / 2 です。よって、a( 1 - b ) ≥ 1 / 4 が成り立つためには a = b = 1 / 2 でなければならず、このとき d = 1 / 2 となります。従って、a = b = c = d でない場合は d( 1 - a ) ≤ 1 / 4 であり、対称性からどの三つの組み合わせを 1 / 4 以上にしても必ず一つは 1 / 4 より小さくなるので、命題が証明されました。