Fussy's Diary

先週は海外のメーカーと会議 + 焼肉パーティーでした。

相変わらず英会話は苦手で、最近は海外メーカーとのやり取りも少なくなったので、以前よりも下手になっていました。やはり、普段から使っていないとダメなようです。洋楽や洋画で英語を聴くようにはしてるんですけどねえ。

今回も、「数学問題bot」に挑戦してみました。今まで何回か挑戦してきましたが、あえて解答は探して見たりしないようにしています。解答見て直してしまったら公開する意味はないですし、間違っているとわかってしまったら公開する気もなくなってしまうので、不正解の可能性があってもとりあえず出してしまっています。で、今回の問題は本当に自信がありません。なんだかあっけなさ過ぎて、どこかで勘違いしている可能性が大です。

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■ 実数に対して定義され実数を値にとる関数 f であって、任意の実数 x, y に対して f([x]y) = f(x)[f(y)] が成立するようなものを全て求めよ。ただし、[z] で z を超えない最大の整数を表すものとする(10国際数オリカザフスタン大会)

x = 0 を代入すると f(0) = f(0)[f(y)] となるので、これが任意の y で成り立つためには f(0) = 0 または [f(y)] = 1 である必要があります。

f(0) = 0 のとき、0 ≤ x < 1 に対して (左辺) = f(0) = 0、(右辺) = f(x)[f(y)] であり、0 = f(x)[f(y)] が任意の x, y で成り立つので、任意の x に対して f(x) = 0、または任意の y に対して [f(y)] = 0 です。前者は後者に含まれるので、[f(y)] = 0 が任意の y について成り立つ必要があります。

1 ≤ x < 2 に対して (左辺) = f(y)、(右辺) = f(x)[f(y)] であり、[f(y)] = 0 が任意の y について成り立つことから (右辺) = 0 です。従って f(y) = 0 が任意の y について成り立つことになり、f = 0 (定数) となります。

[f(y)] = 1 のとき、(右辺) = f(x)[f(y)] = f(x) が必ず成り立ちます。0 ≤ x < 1 に対しては (左辺) = f(0) なので、0 ≤ x < 1 では f(x) は定数 f(0) でなければなりません。
1 ≤ x < 2 のとき、(左辺) = f(y) より f(x) = f(y) が任意の x, y で成り立ちます。従って、f(x) は定数でなければなりません。[f(y)] = 1 より、1 ≤ f(y) < 2 なので、f = K ( 1 ≤ K < 2 ) となります。

従って、f = 0 または K ( K は 1 ≤ K < 2 を満たす定数 ) となります。

また、そのうち誤りに気がついて直すかもしれません。