Fussy's Diary

学校はもう夏休みに突入したのでしょうか。

今日から三連休なのに、初日はゲリラ豪雨と雷でいい休日とはいえなかったように感じます。多少暑さが和らいだかもしれませんが、雨で窓を閉め切ったので結局エアコンは必須でした。明日の天気はどうなんでしょうかね。予報では降水確率は低いようですが。

「数学問題 bot」を解いてみました。東大の入試問題です。

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■ n を 2 以上の整数とする。自然数 ( 1 以上の整数 ) の n 乗になる数を n 乗数と呼ぶことにする。
1) 連続する 2 個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。
2) 連続する n 個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。
( 12 東大理系 )

1) 2 個の自然数を M, M + 1 とします。M を素因数分解した結果を p₁^r₁・p₂^r₂・...・p_s^r_s としたとき、M + 1 は p₁^r₁・p₂^r₂・...・p_s^r_s + 1 なので、p₁ から p_s までのどの素数で割っても必ず 1 余ります。従って、M と M + 1 の間には共通な素因数が存在しないことになり、二数の積 M( M + 1 ) が n 乗数となるためには M と M + 1 がどちらも n 乗数でなければなりません。しかし、連続する 2 個の自然数がどちらも n 乗数となることはありえないので、連続する 2 個の自然数の積は n 乗数にはならないことが証明されます。

2) 連続する n 個の自然数の最小の数を M とすると、その積は M( M + 1 )...( M + n - 1 ) で表されます。この数が n 乗数 Aⁿ ( A は自然数 ) で表されるとした時、

Mⁿ < M( M + 1 )...( M + n - 1 ) < ( M + n - 1 )ⁿ

より A の取りうる値は M + 1 から M + n - 2 の間でなければなりません。但し、n ≥ 3 とします。すなわち、n 個の自然数の中のいずれかが A であるということになります。Aⁿ は、A が持つ素因数以外の素数を持ちません。しかし、A に連続する自然数は、1) で示したように A 以外の素因数を持ちます。従って最初の仮定が成り立たず、n ≥ 3 のとき、連続する n 個の自然数は n 乗数にはなりえないことになります。最後に 1) から連続する 2 個の自然数の積は 2 乗数にはなりえず、連続する n 個の自然数は n 乗数ではないことが示されました。

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さて、そうなると「連続する任意の個数の自然数の積で、 任意の n について n 乗数となる場合があるか」という疑問が出てきます。これについてはどうなんでしょうかね ? かなり大きな数になればありえそうにも思えるんですが。
それから、例によって上の回答で正解なのかはわかりません。