Fussy's Diary

また急に寒くなってきました。

一月が終わる前に、「アルゴリズムのコーナー」にある「ハフマン符号化」をアップデートしたいと思っています。サンプル・プログラムは大体できたので、あとはドキュメントを見直すのみとなりました。何とか間に合わせて、二月からはアップデート作業と並行して「生存時間解析」あたりをまとめようかと考えてます。クラスタリングの手法が結構おもしろそうなので、これも作っていきたいのですが、そんなに時間が取れるかどうか...

中学校の頃に習った幾何の問題で、面白そうなのを見つけたので紹介します。Twitter から拾ってきたのですが、どこから見つけてきたのか失念してしまいました。

■ 円に内接する平行四辺形で長方形でないものは存在しないことを示せ。( 7mex 様 )

平行四辺形の向かい合う頂点の内角が等しいことと、円に内接する四角形の向かい合う頂点の内角和が 180 度であることを利用すると、円に内接する平行四辺形の内角は 90 度であることになるので必ず長方形になります。この二つの定理を証明する方がちょっとだけ大変です。

平行四辺形の向かい合う頂点の内角が等しいことは、相対する辺が平行なので、対角線を一本引いた時に錯角が等しくなることを利用すれば証明できます。
円に内接する四角形の向かい合う頂点の内角和が 180 度であることは次のように証明します。円の中心を各頂点と結んだ時に内部にできる 4 つの三角形が全て二等辺三角形であることから、それぞれの底角を○、□、△、×で表すと、向かい合う頂点の内角和が (二つの頂点をどのようにとっても) ○ + □ + △ + ×となるので、全頂点の内角和が 2( ○ + □ + △ + × ) = 360 度であることから ○ + □ + △ + × = 180 度となります。

中学校の頃にこれらの定理を習った記憶がありますが、どうやって証明するのか少し悩みました。