Fussy's Diary

昨日は岐阜県の鵜沼にある「つたや」というところでとん焼を食べに行ってきました。個人的にはネギマがおいしかったです。

豚ホルモンというと名古屋人は「とんちゃん」を思い出します。味噌ダレに絡めた豚の腸の部位を焼いたもので、子供の頃からよく食べてました。今でも時々食べたくなる時があります。名古屋以外では「てっちゃん」というそうですね。
岐阜の「鶏ちゃん」はとんちゃんを鶏肉に変えたものでこちらの方が時代としては新しいと思っているのですが、本当のところはどうなんでしょう？鶏ちゃんもおいしいですよ。

「数学問題bot(個人用)‏」から京大の問題です。例によって合っている保証なしです。

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a, b, p, q は全て自然数で、( p² + q² ) / a = pq / b を満たしている。a と b は互いに素とする。√( a + 2b ) は自然数であることを示せ ( 1998 年京大後期文系 )

( p + q )² = p² + q² + 2pq = ( a / b + 2 )pq = ( a + 2b )pq / b

より、a / b + 2 は a, b が互いに素であることから整数にはなれないので pq / b は整数、すなわち pq は b で割り切れることになります。
p, q の最大公約数を G、p = p'G, q = q'G とすると、

( p² + q² ) / a = G²( p'² + q'² ) / a

pq / b = G²p'q' / b

で、G ≠ 0 なので

( p'² + q'² ) / a = p'q' / b

で、p', q' は互いに素となります。
p' が持つ素因数は q' には存在せず、その逆も真なので、p'² + q'² は p', q' の素因数を持たず、従って p'² + q'² と p'q' は互いに素です。a, b が互いに素であることから G の中の素因数を a, b が共通で持つことはないので、

G²( p'² + q'² ) / a = G²p'q' / b

が成り立つためには

p'² + q'² = a
p'q' = b

でなければならず、従って pq / b = G² となります。

( p + q )² = ( a + 2b )G²

より、右辺が平方数になるためには a + 2b も平方数でなければならず、よって、 √( a + 2b ) は自然数になります。