2016年03月16日
名大問題 2016 (3)
バンダイが「必殺技」を密かに登録商標にしようとしていたそうです。
意図がよくわかりませんが、いっそのこと「クソゲー」を登録商標にすればいいんじゃないでしょうか。もしくは「抱き合わせ」とか「課金制」とか。
必殺技といえば、似たような言葉に奥義とかありますよね。「北斗百裂拳」とか、あの言葉は登録商標されているんでしょうか。他にもドラえもんの道具の名前だとか、ちょっと気にはなりますね。
今年の名古屋大の問題から三つ目です。例によって合っている保証なしです。
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玉が 2 個ずつ入った 2 つの袋 A, B があるとき、袋 B から玉を 1 個取り出して袋 A に入れ、次に袋 A から玉を 1 個取り出して袋 B に入れる、という操作を 1 回の操作と数えることにする。
A に赤玉が 2 個、B に白玉が 2 個入った状態から始め、この操作を n 回繰り返した後に袋 B に入っている赤玉の個数が k 個である確率を Pn(k) ( n = 1, 2, 3, ... ) とする。
このとき、k = 0, 1, 2 に対する Pn(k) を求めよ (途中の導出問題は省略) (名古屋大 2016)。
一回の試行で起こる事象とその確率は、A( 赤, 赤 ) B( 白, 白 ) に対して
B から白を A へ → A から赤を B へ ... 2 / 3
B から白を A へ → A から白を B へ ... 1 / 3
なので、P1( 0 ) = 1 / 3, P1( 1 ) = 2 / 3, P1( 2 ) = 0 となります。n - 1 回の試行後の A, B の状態は
1. A( 赤, 赤 ) B( 白, 白 )
2. A( 赤, 白 ) B( 赤, 白 )
3. A( 白, 白 ) B( 赤, 赤 )
の 3 通りしかありません。この状態から試行を一回行ったときの事象とその確率は、1 の場合は先ほど求めたので 2, 3 について考えると
■ 2 の場合
B から赤を A へ ... 1 / 2 → A から赤を B へ ... 2 / 3 ( k = 1 )
B から赤を A へ ... 1 / 2 → A から白を B へ ... 1 / 3 ( k = 0 )
B から白を A へ ... 1 / 2 → A から赤を B へ ... 1 / 3 ( k = 2 )
B から白を A へ ... 1 / 2 → A から白を B へ ... 2 / 3 ( k = 1 )
■ 3 の場合
B から赤を A へ → A から赤を B へ ... 1 / 3 ( k = 2 )
B から赤を A へ → A から白を B へ ... 2 / 3 ( k = 1 )
1 の場合は k = 0 からのスタートなので、n - 1 回めの試行での確率は Pn-1( 0 ) です。同様に、2 の場合は Pn-1( 1 )、3 の場合は Pn-1( 2 ) となり、
Pn( 0 ) = ( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) + ( 1 / 6 )Pn-1( 1 )
Pn( 1 ) = ( 2 / 3 )Pn-1( 0 ) + ( 2 / 3 )Pn-1( 1 ) + ( 2 / 3 )Pn-1( 2 )
Pn( 2 ) = ( 1 / 6 )Pn-1( 1 ) + ( 1 / 3 )Pn-1( 2 )
となります。Pn-1( 0 ) + Pn-1( 1 ) + Pn-1( 2 ) = 1 なので Pn-1( 2 ) = 1 - ( Pn-1( 0 ) + Pn-1( 1 ) ) を下側の 2 式に代入すると
Pn( 1 )
= ( 2 / 3 )Pn-1( 0 ) + ( 2 / 3 )Pn-1( 1 ) + ( 2 / 3 )[ 1 - ( Pn-1( 0 ) + Pn-1( 1 ) ) ]
= 2 / 3
Pn( 2 )
= ( 1 / 6 )Pn-1( 1 ) + ( 1 / 3 )[ 1 - ( Pn-1( 0 ) + Pn-1( 1 ) ) ]
= -( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) - ( 1 / 6 )Pn-1( 1 ) + 1 / 3
となり、Pn( 1 ) は定数になります。従って、Pn-1( 1 ) = Pn( 1 ) = 2 / 3 であり、
Pn( 0 ) = ( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) + 1 / 9
Pn( 2 ) = -( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) + 2 / 9
という漸化式が得られます。
Pn( 0 ) - ( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) = ( 1 / 3 )2
( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) - ( 1 / 3 )2Pn-2( 0 ) = ( 1 / 3 )3
:
( 1 / 3 )n-2P2( 0 ) - ( 1 / 3 )n-1P1( 0 ) = ( 1 / 3 )n
を辺々加えて
Pn( 0 ) - ( 1 / 3 )n-1Pn-1( 0 ) = Σk{2→n}( ( 1 / 3 )k ) より
Pn( 0 ) = ( 1 / 6 ) - ( 3 / 2 )( 1 / 3 )n+1 + ( 1 / 3 )n
となります。また、Pn( 2 ) = 1 - Pn( 0 ) - Pn( 1 ) なので、
Pn( 2 ) = ( 1 / 6 ) + ( 3 / 2 )( 1 / 3 )n+1 - ( 1 / 3 )n
となります。
意図がよくわかりませんが、いっそのこと「クソゲー」を登録商標にすればいいんじゃないでしょうか。もしくは「抱き合わせ」とか「課金制」とか。
必殺技といえば、似たような言葉に奥義とかありますよね。「北斗百裂拳」とか、あの言葉は登録商標されているんでしょうか。他にもドラえもんの道具の名前だとか、ちょっと気にはなりますね。
今年の名古屋大の問題から三つ目です。例によって合っている保証なしです。
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玉が 2 個ずつ入った 2 つの袋 A, B があるとき、袋 B から玉を 1 個取り出して袋 A に入れ、次に袋 A から玉を 1 個取り出して袋 B に入れる、という操作を 1 回の操作と数えることにする。
A に赤玉が 2 個、B に白玉が 2 個入った状態から始め、この操作を n 回繰り返した後に袋 B に入っている赤玉の個数が k 個である確率を Pn(k) ( n = 1, 2, 3, ... ) とする。
このとき、k = 0, 1, 2 に対する Pn(k) を求めよ (途中の導出問題は省略) (名古屋大 2016)。
一回の試行で起こる事象とその確率は、A( 赤, 赤 ) B( 白, 白 ) に対して
B から白を A へ → A から赤を B へ ... 2 / 3
B から白を A へ → A から白を B へ ... 1 / 3
なので、P1( 0 ) = 1 / 3, P1( 1 ) = 2 / 3, P1( 2 ) = 0 となります。n - 1 回の試行後の A, B の状態は
1. A( 赤, 赤 ) B( 白, 白 )
2. A( 赤, 白 ) B( 赤, 白 )
3. A( 白, 白 ) B( 赤, 赤 )
の 3 通りしかありません。この状態から試行を一回行ったときの事象とその確率は、1 の場合は先ほど求めたので 2, 3 について考えると
■ 2 の場合
B から赤を A へ ... 1 / 2 → A から赤を B へ ... 2 / 3 ( k = 1 )
B から赤を A へ ... 1 / 2 → A から白を B へ ... 1 / 3 ( k = 0 )
B から白を A へ ... 1 / 2 → A から赤を B へ ... 1 / 3 ( k = 2 )
B から白を A へ ... 1 / 2 → A から白を B へ ... 2 / 3 ( k = 1 )
■ 3 の場合
B から赤を A へ → A から赤を B へ ... 1 / 3 ( k = 2 )
B から赤を A へ → A から白を B へ ... 2 / 3 ( k = 1 )
1 の場合は k = 0 からのスタートなので、n - 1 回めの試行での確率は Pn-1( 0 ) です。同様に、2 の場合は Pn-1( 1 )、3 の場合は Pn-1( 2 ) となり、
Pn( 0 ) = ( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) + ( 1 / 6 )Pn-1( 1 )
Pn( 1 ) = ( 2 / 3 )Pn-1( 0 ) + ( 2 / 3 )Pn-1( 1 ) + ( 2 / 3 )Pn-1( 2 )
Pn( 2 ) = ( 1 / 6 )Pn-1( 1 ) + ( 1 / 3 )Pn-1( 2 )
となります。Pn-1( 0 ) + Pn-1( 1 ) + Pn-1( 2 ) = 1 なので Pn-1( 2 ) = 1 - ( Pn-1( 0 ) + Pn-1( 1 ) ) を下側の 2 式に代入すると
Pn( 1 )
= ( 2 / 3 )Pn-1( 0 ) + ( 2 / 3 )Pn-1( 1 ) + ( 2 / 3 )[ 1 - ( Pn-1( 0 ) + Pn-1( 1 ) ) ]
= 2 / 3
Pn( 2 )
= ( 1 / 6 )Pn-1( 1 ) + ( 1 / 3 )[ 1 - ( Pn-1( 0 ) + Pn-1( 1 ) ) ]
= -( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) - ( 1 / 6 )Pn-1( 1 ) + 1 / 3
となり、Pn( 1 ) は定数になります。従って、Pn-1( 1 ) = Pn( 1 ) = 2 / 3 であり、
Pn( 0 ) = ( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) + 1 / 9
Pn( 2 ) = -( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) + 2 / 9
という漸化式が得られます。
Pn( 0 ) - ( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) = ( 1 / 3 )2
( 1 / 3 )Pn-1( 0 ) - ( 1 / 3 )2Pn-2( 0 ) = ( 1 / 3 )3
:
( 1 / 3 )n-2P2( 0 ) - ( 1 / 3 )n-1P1( 0 ) = ( 1 / 3 )n
を辺々加えて
Pn( 0 ) - ( 1 / 3 )n-1Pn-1( 0 ) = Σk{2→n}( ( 1 / 3 )k ) より
Pn( 0 ) = ( 1 / 6 ) - ( 3 / 2 )( 1 / 3 )n+1 + ( 1 / 3 )n
となります。また、Pn( 2 ) = 1 - Pn( 0 ) - Pn( 1 ) なので、
Pn( 2 ) = ( 1 / 6 ) + ( 3 / 2 )( 1 / 3 )n+1 - ( 1 / 3 )n
となります。
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