Fussy's Diary

台風が過ぎたら急に寒くなってきましたね。このまま冬に突入でしょうか。

少し前に「フェルマーの小定理」を紹介しましたが、同じ「フェルマー」つながりで「フェルマーの最終定理」というのがあります。フェルマーは 1600 年代に活躍した数学者です。彼が残した定理の多くは彼自身が証明したものではなく、後に他の数学者たちが証明 (誤りであったものも含めて) しました。最後に残った定理が「フェルマーの最終定理」で、証明されたのは 300 年以上もあとの 1995 年。アンドリュー・ワイルズによって証明が成し遂げられるまで多くの数学者達を悩ませてきたことになります。

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「フェルマーの最終定理」

3 以上の自然数 n に対し、xⁿ + yⁿ = zⁿ を満たすゼロでない自然数 x, y, z は存在しない。
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この定理がわかっていれば、次の問題を解くこともできます。

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大きさの等しい立方体の積み木 ( 角砂糖やサイコロでもOK ) を積み重ねた一つの大きな立方体に対し、これをバラバラにして二つの立方体にすることは可能か。
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大きな立方体の縦・横・高さが z 個分あったとすれば、使用した積み木の数は z³ 個です。これを、二つの立方体に分けたいわけだから、

x³ + y³ = z³

を満たすゼロより大きな自然数 x, y, z を見つけることを意味して、これは「できない」ということになります。立体ではなく平面で考えれば、これはピタゴラスの定理を満たす自然数の組を見つけることを意味するので、無数に見つけることができます。

似たような問題はいくらでも考えることができて、例えば

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大きさの等しい立方体の積み木 ( 角砂糖やサイコロでもOK ) を積み重ねた一つの大きな立方体に対し、これをバラバラにしていくつかの立方体にすることは可能か。但し、全ての立方体が積み木一つだけという場合を除く。
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大きさの等しい正方形の紙をを並べた一つの大きな正方形に対し、これをバラバラにして三つ以上の正方形にすることは可能か。但し、全ての正方形が紙一枚だけという場合を除く。
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などというものも考えられます。暇つぶしにいかがでしょうか。