Fussy's Diary

とうとう、梅雨入り宣言されました。

来週は晴れの日はほとんどないようです。しかし、大雨にならなければそれほど苦にもならないというものです。ゲリラ豪雨だけはかんべんしてほしいですね。

「数学問題bot」さんから今回は京大の問題。解き方を気付いた後は割と簡単に解けました。気付くまでが大変ですが。
例によって合っている保証なしです。

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2 以上の自然数 n に対し、n と n² + 2 がともに素数になるのは n = 3 の場合に限ることを示せ。( 06 京都前期・理 )

全ての自然数は、k ≥ 0 として 3k, 3k + 1, 3k + 2 で表すことができます。3k は k & gt; 1 のとき合成数なので、n = 3k + 1, 3k + 2 として n² + 2 を計算すると

( 3k + 1 )² + 2 = 9k² + 6k + 3 = 3( 3k² + 2k + 1 )

( 3k + 2 )² + 2 = 9k² + 12k + 6 = 3( 3k² + 4k + 2 )

で必ず 3 の倍数になります。従って、n と n² + 2 が n = 3 以外でともに素数となることはありません。