Fussy's Diary

Playboy Magazine が、ヌードの掲載をやめるという記事が新聞に載っていました。Live Science でもこの話題を取り上げて、"Bye, Bye, Playboy, Bunnies" という記事を掲載していました。副題が「ポルノが脳に与える五つの影響」ということで、果たしてポルノは脳にいい影響を与えるのかどうか、全く正反対な二つの作用について書かれています。
今ではインターネットの普及で Web 上でも簡単にヌード画像が閲覧できてしまうので、ヌード写真を掲載した雑誌というものも淘汰されてきているようです。プレイボーイも同様で、売り上げは下降状態。で、ヌードの掲載を一時的にやめたら逆に売り上げが伸びたそうです。年齢層も下がったということで、ヌードがなくなって買いやすくなったんでしょうか。いやいや、中学生じゃあるまいし。

「数学問題bot」から、なかなか面白い問題です。

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n! が n^2 の倍数となるような自然数 n を全て求めよ ( 11 東工大 AO )

n! = Kn² より、両辺を n で割って

( n - 1 )! = Kn となるような自然数 K が存在すればいいので、( n - 1 )! が n で割り切れるような自然数をすべて求めればよいことになります。n = 1 ならば明らかに成り立ち、n = 2 は成り立たないことは簡単に示すことができます。n = 3 の場合、( n - 1 )! = 2 は 3 で割り切れないので成り立ちません。n = 4 では ( n - 1 )! = 6 となり、これもNGです。以下、計算すると

n	( n - 1 )!	割り切れるか?
5	24	×
6	120	○
7	720	×
8	5040	○
9	40320	○
10	362880	○

となります。まず、素数に対しては成り立たないようにみえるのでこれを証明すると、p を素数とした時、1 から p - 1 までのすべての数は p と互いに素です。従って、( p - 1 )! には p と共通な因数は存在せず、従って成り立たないことがわかります。しかし、p² ならば、1 から p² までの間の p の倍数は p, 2p, ... p² の p 個あるので、( p² - 1 )! には p が p - 1 個含まれることになり、p - 1 ≥ 2 ならば、( p² - 1 )! は p² で割り切れます。従って、p ≥ 3 ならば、p² は成り立つことになります。
さらに一般化して p^m ( m ≥ 2 ) の場合を考えると、1 から p^m までの間の p の倍数は p, 2p, ... p^m-1・p の p^m-1 個あり、k ≤ m の任意の k について、p^k の倍数は p^k, 2p^k, ... p^m-kp^k の p^m-k 個あります。p^k の倍数には k 個の p があり、k より小さな指数の倍数でもあることから、k = 1 の場合から順に p をひとつずつ抽出したと考えれば、p の総数は

p^m-1 + p^m-2 + ... + p + 1 = p^m - 1 個

になります。しかし、これは p^m! にある p の総数なので、実際にはここから m を引いた個数が ( p^m - 1 )! に含まれる p の個数です。従って

p^m - m - 1 ≥ m より

p^m ≥ 2m + 1

ならば p^m は成り立つことになります。この不等式は、( p, m ) = ( 2, 2 ) 以外の全ての数 ( 但し m ≥ 2 です ) で成り立ちます。

最後に、n を二つ以上の異なる素因数からなる任意の合成数としたとき、その中の一つの素因数を p として n は

n = Kp^m

という形で表すことができます。但し、K ≥ 2, m ≥ 1 とします。( n - 1 )! には p^m の倍数が K - 1 個あるので、K ≥ 2 ならば必ず p^m で割り切れることになります。どの素因数に対してもこれは成り立つので、二つ以上の異なる素因数を持つ合成数は全て成り立つことになります。

従って、求める自然数は、

1
2² を除いた素数のべき乗数全て
二つ以上の異なる素因数からなる合成数

になります。

例によって、合ってるかどうかは不明です。