Fussy's Diary

仕事で Windows2012 の再インストール作業をすることになりました。初めて使った時は、あまりにも操作方法が変わってしまって設定にかなり手こずってましたが、最近はだいぶ慣れてきたような気が。しかし、リモートデスクトップサービスを使うのにドメインを立ちあげなければならなくなったりして結構面倒です。そういえば、次のバージョンはいつ頃出るんでしたっけね。クライアント用には Windows10 が発表されて間もないわけですが、今のところ使う気にはならないです。しかし、また PC を買い換える頃にはこれしかないような状態になりそうです。

今回は、「マテマティカ２」からの問題を解いてみました。ちょっと前からいろいろと解き方を考えていましたが、ようやく解法が見つかりました (正解しているかはわかりませんが)。

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153: 複素数

p を素数、a, b を互いに素である自然数とする。( a + bi )^p が実数をとるような a, b, p の組み合わせは何組あるか。ただし、i は虚数単位とする。

二項定理より

( a + bi )^p = a^p + _pC₁a^p-1・bi + ... + _pC_ka^p-k・(bi)^k + ... + _pC_p(bi)^p

なので、虚部は bi の指数が奇数の部分で表されます。p = 2 のときは

( a + bi )² = ( a² - b² ) + 2abi

なので、これが実数となるためには ab = 0 である必要がありこれは成り立ちません。従って、p は奇素数の場合だけを考えればよいことになります。任意の奇素数に対し、その虚部は

[ _pC₁a^p-1・b - _pC₃a^p-3・b³ + ... + (-1)^(k-1)/2_pC_ka^p-k・b^k + ... + (-1)^(p-1)/2_pC_pb^p ]i
= i・Σ_k{1→(p+1)/2}( (-1)^k-1_pC_2k-1a^p-2k+1・b^2k-1 )

となります。従って、これがゼロになれば、( a + bi )^p は実数となります。虚数 i を除いて係数部分だけとし、b ≠ 0 より、b で割ると

_pC₁a^p-1 - _pC₃a^p-3・b² + ... + (-1)^(k-1)/2_pC_ka^p-k・b^k-1 + ... + (-1)^(p-1)/2_pC_pb^p-1
= _pC₁a^p-1 - _pC₃a^p-3・b² + ... + (-1)^(k-1)/2_pC_ka^p-k・b^k-1 + ... + (-1)^(p-1)/2b^p-1
= 0

より

_pC₁a^p-1 - _pC₃a^p-3・b² + ... + (-1)^(k-1)/2_pC_ka^p-k・b^k-1 + ... + (-1)^(p-3)/2_pC_p-2a²・b^p-3 = -(-1)^(p-1)/2b^p-1

となりますが、p > k > 0 ならば _pC_k は必ず p の倍数となるので(証明は後述)、左辺は p の倍数となり、従って右辺にある b は p を素因数に持つ必要があります (左辺がゼロの場合 b = 0 となるのでこの場合は無視できます)。そこで今度は b = pc とすると、

_pC₁a^p-1 - _pC₃a^p-3・(pc)² + ... + (-1)^(k-1)/2_pC_ka^p-k・(pc)^k-1 + ... + (-1)^(p-1)/2(pc)^p-1
= _pC₁a^p-1 - p²_pC₃a^p-3・c² + ... + (-1)^(k-1)/2p^k-1_pC_ka^p-k・c^k-1 + ...
 + (-1)^(p-1)/2p^p-1c^p-1
= 0

より

-p²_pC₃a^p-3・c² + ... + (-1)^(k-1)/2p^k-1_pC_ka^p-k・c^k-1 + ... + (-1)^(p-1)/2p^p-1c^p-1 = -_pC₁a^p-1

となり、両辺を p で割れば

-p_pC₃a^p-3・c² + ... + (-1)^(k-1)/2p^k-2_pC_ka^p-k・c^k-1 + ... + (-1)^(p-1)/2p^p-2c^p-1 = -a^p-1

なので a も p を素因数として持つことになり、a, b が互いに素であるという仮定に反します。従って、( a + bi )^p が実数となるような ( a, b, p ) の組み合わせは存在しないということになります。

p > k > 0 ならば _pC_k は必ず p の倍数となることの証明ですが、

_pC_k = p! / k!・( p - k )! = p・( p - 1 )・...・( p - k + 1 ) / k・( k - 1 )・...・2・1

より p が素数で p > k ならば、分母の 1 から k までの数で p を割ることはできないので、_pC_k が整数なら p はそのまま素因数として残ることになり、従って _pC_k は p の倍数となります。_pC_k が整数であることの証明は(組み合わせを表すので当然ではありますが)、

_p-1C_k + _p-1C_k-1
= ( p - 1 )! / k!・( p - k - 1 )! + ( p - 1 )! / ( k - 1 )!・( p - k )!
= [ ( p - 1 )! / ( k - 1 )!・( p - k - 1 )! ][ 1 / k + 1 / ( p - k ) ]
= [ ( p - 1 )! / ( k - 1 )!・( p - k - 1 )! ]{ [ ( p - k ) + k ] / k( p - k ) ]
= [ ( p - 1 )! / ( k - 1 )!・( p - k - 1 )! ][ p / k( p - k ) ]
= p! / k!・( p - k )! = _pC_k

より、_pC_k は _p-1C_k + _p-1C_k-1 の和で表すことができます。従って、_p-1C_k が任意の k について全て整数なら、_pC_k も整数であることになります。p = 1 のとき、₁C₀ = ₁C₁ = 1 なので、帰納法により _pC_k は整数であることが証明されます。もちろん、p が素数でなくてもこれは成り立ちます。

例によって合っている保証はありません。