Fussy's Diary

週末の夜、いつもながらホッとします。

今まで Twitter から得た数学の問題、最近はあまりチャレンジしていませんでした。久々に一問解いてみたので紹介しておきます。問題は「数学問題bot」から選択しました。例によって正解している保証なしです。

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■ ある整数を 14 で割った商は整数、余りは 0 以上 14 未満の整数とする。a は 14 で割ると 6 余る整数、b は 14 で割ると 1 余る整数である。二次方程式 x² - 2ax + b = 0 が整数解を持つとき、整数解を 14 で割った余りを求めよ(06慶應)

二次方程式の解を m, n とすると

m + n = 2a
mn = b

で、a, b はともに整数なので、二次方程式の解の一つが整数なら両方とも整数解であることになります。

m = 14p + r
n = 14q + s

とすると、

m + n = 14( p + q ) + ( r + s ) = 2a
mn = 14²pq + 14( ps + qr ) + rs = b

なので、r + s と rs を 14 で割った余りはそれぞれ 12 と 1 です。r は 0 から 13 までの値を取りうるので、各 r に対応する s の値から rs を 14 で割った余りを求めると、

r x s → 余り
0 x 12 → 0
1 x 11 → 11
2 x 10 → 6
3 x 9 → 13
4 x 8 → 4
5 x 7 → 7
6 x 6 → 8
7 x 5 → 7
8 x 4 → 4
9 x 3 → 13
10 x 2 → 6
11 x 1 → 11
12 x 0 → 0
13 x 13 → 1

となって、余りが 1 になるのは r, s がともに 13 のときです。従って答えは 13 になります。

ちなみに、r, s がともに 13 であっても a, b の 14 で割った剰余がそれぞれ 6, 1 になるとは限りません。a の剰余が 6 ならば 2a の剰余は 12 ですが、その逆は成り立たないからです。例えば、m = n = 13 のとき a = 13, b = 169 となり、b の剰余は 1 ですが a の剰余は 6 ではありません。m と n を加算してはじめて剰余が 12 になります。