Fussy's Diary

明日で休日が終わり、またしばらくは忙しい毎日が始まります。

昨日・今日はのんびりと過ごしていました。ぼんやりと次のテーマも考えていて、そのための本を読んだりもしていましたが、いつの間にか睡魔におそわれて眠ってしまい大して進んでいません。まあ、今まで通りあせらずにゆっくりとやっていくつもりです。

夕方頃から、「数学問題 bot」にチャレンジしていました。二問のうち片方は解けたので、解法を紹介してみたいと思います。これもあっているという保証はないです。

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■ 2ⁿ + n² が素数であるような 2 以上の整数 n について、n を 6 で割った時の余りが 3 であることを示せ(第24回シュプリンガー数学コンテスト)

このまま眺めていても取り付く島もない状態なので、とりあえず小さな数からチェックしてみます。

n = 3 のとき 2³ + 3² = 8 + 9 = 17 で素数。
n = 4 のとき 2⁴ + 4² = 16 + 16 = 32
n = 5 のとき 2⁵ + 5² = 32 + 25 = 57
n = 6 のとき 2⁶ + 6² = 64 + 36 = 100
n = 7 のとき 2⁷ + 7² = 128 + 49 = 177
n = 8 のとき 2⁸ + 8² = 256 + 64 = 320
n = 9 のとき 2⁹ + 9² = 512 + 81 = 593 で素数。

明らかに、n が偶数なら 2ⁿ + n² も偶数なので除外できます。n = 5, 7 のとき結果は 3 の倍数なので、n = 6k ± 1 ( k > 0 ) としたときにこれが 3 の倍数となるのではと推測してみます。そこで、この値を 2ⁿ + n² に代入して変形してみると、

2^6k±1 + ( 6k ± 1 )² = 36k² ± 12k + ( 2^6k±1 + 1 )

となります。もし任意の k に対して、2^6k±1 + 1 が 3 で割り切れれば、つまり 2^6k±1 を 3 で割った余りが 2 なら、2ⁿ + n² は 3 で割り切れることになって必ず合成数となります。k = 1 のとき、

2^6k-1 = 2⁵ = 32
2^6k+1 = 2⁷ = 128

なので、どちらも 3 で割ると 2 余ります。3m + 2 で表される ( 3 で割って 2 余る) 数に 2⁶ = 64 を掛けると

( 3m + 2 ) x 64 = 3 x 64m + 128 = 3 x ( 64m + 42 ) + 2 より やはり 2 余る数になるので、2^6k±1 は任意の k に対して必ず 2 余ることになり、n = 6k ± 1 の場合は必ず 3 の倍数なので素数にはならないことが示されました。よって、2ⁿ + n² が素数になるなら、それは必ず n = 6k + 3 で表されることになります。

逆は成り立つのでしょうか。

n = 15 のとき 2¹⁵ + 15² = 32768 + 225 = 32993 で素数。
n = 21 のとき 2²¹ + 21² = 2097152 + 441 = 2097593 で素数。
n = 27 のとき 2²⁷ + 27² = 134217728 + 729 = 134218457 で素数ではない(73 x 521 x 3529 )。

となるので、必ず成り立つというわけではありません。

ところで、下の問題も同時に考えていました。こちらの方が簡単だと思っていたのに、まだ解けていません。解法が見つかったらまた紹介しようかと思います。

■ 自然数 n と m について、n² + m とn² - m がともに平方数であるなら、m は 24 で割り切れることを示せ (第24回シュプリンガー数学コンテスト)