2016年03月10日
名大問題 2016 (1)
暖かくなったと思ったら寒くなったり。はっきりしない季節ですね。
「保育園落ちた」のブログが国会でも取り上げられたのがニュースになっていました。野党が利用しただけとかいろいろ言われてはいますが、ネットでのつぶやきが国会にまで影響を及ぼすというのは驚きです。前にも同じようなことってありましたっけ？今までは議員本人のつぶやきが取り上げられることしかなかったように記憶してます。
一応、前向きに検討しているみたいですけど、つぶやいた本人はすぐにでもなんとかしてほしいんじゃないでしょうか。
さて、今年の名古屋大の入試問題を一通り解いてみました。合っている保証なしですが、その中の一つを公開しておきます。
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曲線 y = x2 上に 2 点 A ( -2, 4 ), B ( b, b2 ) をとる。ただし b > -2 とする。このとき、次の条件を満たす b の範囲を求めよ (名古屋大 2016)。
条件 : y = x2 上の点 T ( t, t2 ) で、∠ATB が直角になるものが存在する。
A を任意の点 ( a, a2 ) として解いてみます。まず、ベクトル TA と BT を求めると、
TA = ( t - a, t2 - a2 )
BT = ( b - t, b2 - t2 )
となります。∠ATB が直角ということは、この二つのベクトルが直交するということなので、内積 ( TA, BT ) = 0 となる点 T が a < t < b に存在すればいいことになります。この内積は
( t - a )( b - t ) + ( t2 - a2 )( b2 - t2 ) = ( t - a )( b - t )[ 1 + ( t + a )( b + t ) ]
となりますが、t - a > 0, b - t > 0 なので、
f(t) = 1 + ( t + a )( b + t ) = t2 + ( a + b )t + ( ab + 1 )
に対し、f(t) = 0 が a < t < b の範囲で解を持つことが必要になります。判別式 D は
D = ( a + b )2 - 4( ab + 1 ) = ( a - b )2 - 4
より、f(t) = 0 が実数解を持つためには ( a - b )2 ≥ 4 が成り立たなければなりません。まず、これがひとつ目の条件になります。
f(t) = 0 の解は { -( a + b ) ± [ ( a - b )2 - 4 ]1/2 } / 2 となることから、
2a < -( a + b ) + [ ( a - b )2 - 4 ]1/2 --- (1)
-( a + b ) - [ ( a - b )2 - 4 ]1/2 < 2b --- (2)
のいずれかとなれば、解は区間 ( a, b ) の間に入ります。(1) より
3a + b < [ ( a - b )2 - 4 ]1/2
( 3a + b )2 = 9a2 + 6ab + b2 < a2 - 2ab + b2 - 4
8ab + 8a2 + 4 < 0 を解いて
a < 0 のとき b > -( 2a2 + 1 ) / 2a
a > 0 のとき b < -( 2a2 + 1 ) / 2a
となります。また (2) より
[ ( a - b )2 - 4 ]1/2 > -a - 3b
( a - b )2 - 4 = a2 - 2ab + b2 - 4 > ( -a - 3b )2 = a2 + 6ab + 9b2
2b2 + 2ab + 1 < 0
b を変数とする (左辺) = 0 の解は [ -a ± ( a2 - 2 )1/2 ] / 2 なので、
[ -a - ( a2 - 2 )1/2 ] / 2 < b < [ -a + ( a2 - 2 )1/2 ] / 2
が求める範囲になります。これがふたつ目の条件です。
問いでは a = -2 なので、ひとつ目の条件から
( -2 - b )2 ≥ 4 より b( b + 4 ) ≥ 0
が成り立てばよく、b > -2 から b + 4 > 0 なので、b ≥ 0 であればいいことになります。ふたつ目の条件から
b > 9 / 4
( 2 - √2 ) / 2 < b < ( 2 + √2 ) / 2
となって、全てを合わせれば
( 2 - √2 ) / 2 < b < ( 2 + √2 ) / 2 または b > 9 / 4
となります。文系では a = -1 だったようです。このときはひとつ目の条件から
( -1 - b )2 ≥ 4 より ( b + 3 )( b - 1 ) ≥ 0 なので b < -3, 1 < b であり、ふたつ目の条件から
b > 3 / 2
( 1 - i ) / 2 < b < ( 1 + i ) / 2 [虚数解なので対象なし]
なので、b > 3 / 2 が求める解となります。
「保育園落ちた」のブログが国会でも取り上げられたのがニュースになっていました。野党が利用しただけとかいろいろ言われてはいますが、ネットでのつぶやきが国会にまで影響を及ぼすというのは驚きです。前にも同じようなことってありましたっけ？今までは議員本人のつぶやきが取り上げられることしかなかったように記憶してます。
一応、前向きに検討しているみたいですけど、つぶやいた本人はすぐにでもなんとかしてほしいんじゃないでしょうか。
さて、今年の名古屋大の入試問題を一通り解いてみました。合っている保証なしですが、その中の一つを公開しておきます。
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曲線 y = x2 上に 2 点 A ( -2, 4 ), B ( b, b2 ) をとる。ただし b > -2 とする。このとき、次の条件を満たす b の範囲を求めよ (名古屋大 2016)。
条件 : y = x2 上の点 T ( t, t2 ) で、∠ATB が直角になるものが存在する。
A を任意の点 ( a, a2 ) として解いてみます。まず、ベクトル TA と BT を求めると、
TA = ( t - a, t2 - a2 )
BT = ( b - t, b2 - t2 )
となります。∠ATB が直角ということは、この二つのベクトルが直交するということなので、内積 ( TA, BT ) = 0 となる点 T が a < t < b に存在すればいいことになります。この内積は
( t - a )( b - t ) + ( t2 - a2 )( b2 - t2 ) = ( t - a )( b - t )[ 1 + ( t + a )( b + t ) ]
となりますが、t - a > 0, b - t > 0 なので、
f(t) = 1 + ( t + a )( b + t ) = t2 + ( a + b )t + ( ab + 1 )
に対し、f(t) = 0 が a < t < b の範囲で解を持つことが必要になります。判別式 D は
D = ( a + b )2 - 4( ab + 1 ) = ( a - b )2 - 4
より、f(t) = 0 が実数解を持つためには ( a - b )2 ≥ 4 が成り立たなければなりません。まず、これがひとつ目の条件になります。
f(t) = 0 の解は { -( a + b ) ± [ ( a - b )2 - 4 ]1/2 } / 2 となることから、
2a < -( a + b ) + [ ( a - b )2 - 4 ]1/2 --- (1)
-( a + b ) - [ ( a - b )2 - 4 ]1/2 < 2b --- (2)
のいずれかとなれば、解は区間 ( a, b ) の間に入ります。(1) より
3a + b < [ ( a - b )2 - 4 ]1/2
( 3a + b )2 = 9a2 + 6ab + b2 < a2 - 2ab + b2 - 4
8ab + 8a2 + 4 < 0 を解いて
a < 0 のとき b > -( 2a2 + 1 ) / 2a
a > 0 のとき b < -( 2a2 + 1 ) / 2a
となります。また (2) より
[ ( a - b )2 - 4 ]1/2 > -a - 3b
( a - b )2 - 4 = a2 - 2ab + b2 - 4 > ( -a - 3b )2 = a2 + 6ab + 9b2
2b2 + 2ab + 1 < 0
b を変数とする (左辺) = 0 の解は [ -a ± ( a2 - 2 )1/2 ] / 2 なので、
[ -a - ( a2 - 2 )1/2 ] / 2 < b < [ -a + ( a2 - 2 )1/2 ] / 2
が求める範囲になります。これがふたつ目の条件です。
問いでは a = -2 なので、ひとつ目の条件から
( -2 - b )2 ≥ 4 より b( b + 4 ) ≥ 0
が成り立てばよく、b > -2 から b + 4 > 0 なので、b ≥ 0 であればいいことになります。ふたつ目の条件から
b > 9 / 4
( 2 - √2 ) / 2 < b < ( 2 + √2 ) / 2
となって、全てを合わせれば
( 2 - √2 ) / 2 < b < ( 2 + √2 ) / 2 または b > 9 / 4
となります。文系では a = -1 だったようです。このときはひとつ目の条件から
( -1 - b )2 ≥ 4 より ( b + 3 )( b - 1 ) ≥ 0 なので b < -3, 1 < b であり、ふたつ目の条件から
b > 3 / 2
( 1 - i ) / 2 < b < ( 1 + i ) / 2 [虚数解なので対象なし]
なので、b > 3 / 2 が求める解となります。
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