Fussy's Diary

大相撲夏場所は照ノ富士が大混戦を制しました。

白鵬が優勝を逃してしまいましたね。日馬富士が白鵬を破ったあと、照ノ富士が大泣きしていたのが印象的でした。次は名古屋場所ですが、名古屋場所が始まると、本格的な夏が到来したという気分になります。今度はどんな展開になるか楽しみですね。

「数学問題bot」からこんな問題を選んでみました。

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1 から 10 までの整数が 1 つずつ書かれた 10 枚のカードがある。この中からカードを 3 枚同時に取り出す。取り出された 3 枚のカードに書かれた 3 つの整数のうち最大のものを除いた残りの 2 つの整数の和を X とする。(中略) X の期待値を求めよ。( 06 千葉・理 )

3 枚のカードの中に 1, 2 が含まれる場合の数は残りのカードが 3 から 10 までの 8 通りあり、この時 X = 1 + 2 = 3 です。1 を固定して 2 のカードを任意 ( M = 2 ～ 9 ) としたとき、残りのカードは 10 - M 通りの場合があり、X = 1 + M です。さらに 1 のカードも任意 ( L = 1 ～ M - 1 ) とすれば、残りのカードの取る場合の数は変わらず X = L + M となります。このことから、X の総和は

Σ_M{2→9}( Σ_L{1→M-1}( ( L + M )( 10 - M ) ) )

で計算できます。式を変形して

Σ_M{2→9}( Σ_L{1→M-1}( ( L + M )( 10 - M ) ) )
=Σ_M{2→9}( ( 10 - M )Σ_L{1→M-1}( L + M ) )
=Σ_M{2→9}( ( 10 - M )[ M( M - 1 ) / 2 + M( M - 1 ) ] )
=Σ_M{2→9}( 3M( M - 1 )( 10 - M ) / 2 )
= 24 + 63 + 108 + 150 + 180 + 189 + 168 + 108 = 990

10 枚のカードから 3 枚を選ぶ場合の数は 10・9・8 / 3・2 = 120 通りなので、期待値は

990 / 120 = 33 / 4

になります。

＊例によって合っている保証なしです。会社の行き帰りに何となく考えていたら解法が浮かんできました。