Fussy's Diary

今週は春分の日がありますね。いよいよ春到来ですか。

今回も名大の入試問題を解いてみたいと思います。今年ではなく去年の問題から選んでみました。
ちなみに、たいていは問題文の短いものを選択しています。図入りのものなんかは画像を作らなきゃならないのでよほどのことがない限りパスしてます。

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■ p を素数、a, b を整数とする。このとき、次の問に答えよ ( 2018 年 名大 )。
(1) ( a + b )^p - a^p - b^p は p で割り切れることを示せ。
(2) ( a + 2 )^p - a^p は偶数であることを示せ。
(3) ( a + 2 )^p - a^p を 2p で割ったときの余りを求めよ。

(1) 二項定理より

( a + b )^p - a^p - b^p = Σ_k{1→p-1}( _pC_ka^kb^p-k )

なので、_pC_k ( k = 1, 2, ... p - 1 ) が p で割り切れることを示せば十分です。_pC_k = p! / k!( p - k )! より分子は p を素因数に持ちますが、分母は持ちません。p は素数なので分母にあるすべての素因数と互いに素です。_pC_k は整数なので、_pC_k は p で割り切れることになります。

(2) ( a + 2 )^p - a^p = 2Σ_k{0→p-1}( _pC_ka^k2^p-k-1 )

より、偶数であることが示されます。

(3) (2) で示した式と (1) の結果より、k が 1 から p - 1 までの項は 2p で割り切れるので、2_pC₀a⁰2^p-1 = 2^p を 2p で割ったときの余りを求めればよいことになります。p = 2 のときは明らかに 0 なので、奇素数の場合を考えます。

2^p = ( 1 + 1 )^p

と表せることから、( 1 + 1 )^p - 1 - 1 は (1) より p で割り切れ、かつ偶数であるので、2^p - 2 は 2p で割り切れることになり、2^p を 2p で割った余りは 2 となります。