Fussy's Diary

10月になりました。今年も 100 日を切ったことになります。

読書の秋・スポーツの秋・食欲の秋などなど「何とかの秋」という言葉が多いですが、その由来は様々なようです。秋は読書をするのに最適な季節ということで「読書の秋」、実りの秋というように食べ物が豊富な季節ということで「食欲の秋」と呼ばれるようになったのだとか。
最近、読書の量が減ってきました。スマホを持つようになったのがきっかけでしょうか。またおもしろそうな本でも探して読もうかなと考えています。その前に、まだ読んでいない本を片付けなければなりませんが。

「数学問題bot(個人用)‏」から京大の問題です。例によって合っている保証なしです。

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a は正の実数とする。不等式 a^x ≥ ax がすべての正の数 x に対して成り立つという。このとき a はどのようなものか ( 1993 京大後期 )

0 < a < 1 のときは a^x → 0 ( x → +∞ ) に対して ax → +∞ ( x → +∞ ) なので明らかに成り立ちません。また、a = 1 のときは 左辺 1 に対して右辺は x → +∞ ( x → +∞ ) となるので、a > 1 のときだけを考えれば十分です。

a^x ≥ ax の両辺に対して a を底とする対数をとると

x ≥ 1 + log_ax

となるので、x - log_ax - 1 ≥ 0 が任意の x で成り立てばよいことになります。そこで

f(x) = x - log_ax - 1

とすると

f'(x) = 1 - 1 / x・log_ea

なので、f'(x) = 0 のとき x = 1 / log_ea、x < 1 / log_ea で f'(x) < 0、x > 1 / log_ea で f'(x) > 0 となって f(x) は x = 1 / log_ea のとき極小値をとります。x = 1 / log_ea のとき

f(x) = 1 - log_a( 1 / log_ea ) - 1 = - log_a( 1 / log_ea )

なので、a > 1 より f(x) ≥ 0 が常に成り立つためには 1 / log_ea ≤ 1 であればよいことになります。同じく a > 1 より log_ea > 0 で、log_ea ≥ 1 より a ≥ e となります。